Непрерывный вейвлет преобразовывает как полосовой фильтр

CWT как метод фильтрации

Непрерывный вейвлет преобразовывает (CWT) вычисляет скалярное произведение сигнала, f(t), с переведенными и расширенными версиями вейвлета анализа, ψ(t). Определение CWT:

C(a,b;f(t),ψ(t))=f(t)1aψ*(tba)dt

Можно также интерпретировать CWT как основанную на частоте фильтрацию сигнала путем перезаписи CWT как обратного преобразования Фурье.

C(a,b;f(t),ψ(t))=12πf^(ω)ψ^¯(aω)eiωbdω

где f^(ω) и ψ^(ω) преобразования Фурье сигнала и вейвлета.

От предыдущих уравнений вы видите, что протяжение вейвлета во время заставляет свою поддержку в частотном диапазоне уменьшаться. В дополнение к уменьшению поддержки частоты центральная частота вейвлета переключает к более низким частотам. Следующая фигура демонстрирует этот эффект для гипотетического вейвлета и шкалы (расширение) факторы 1,2, и 4.

Это изображает CWT как полосовую фильтрацию входного сигнала. Коэффициенты CWT в более низких шкалах представляют энергию во входном сигнале на более высоких частотах, в то время как коэффициенты CWT в более высоких шкалах представляют энергию во входном сигнале на более низких частотах. Однако различающаяся полосовая фильтрация Фурье, ширина полосового фильтра в CWT обратно пропорциональна шкале. Ширина CWT фильтрует уменьшения с увеличивающейся шкалой. Это следует из отношений неуверенности между временем и поддержкой частоты сигнала: чем более широкий поддержка сигнала вовремя, тем более узкий его поддержка в частоте. Обратное отношение также содержит.

В вейвлете преобразовывают, шкала, или операция расширения задана, чтобы сохранить энергию. Сохранить энергию при уменьшении поддержки частоты требует, чтобы пиковый энергетический уровень увеличился. Реализация cwt в Wavelet Toolbox™ использует нормализацию L1. Добротностью или фактором Q фильтра является отношение своей пиковой энергии к пропускной способности. Поскольку уменьшение или протяжение поддержки частоты вейвлета приводят к соразмерным увеличениям или уменьшениям в его пиковой энергии, вейвлеты часто упоминаются как постоянные-Q фильтры.

Основанный на ДПФ непрерывный вейвлет преобразовывает

Уравнение в предыдущем разделе задало CWT как обратное преобразование Фурье продукта преобразований Фурье.

C(a,b;f(t),ψ(t))=12πf(ω)ψ^*(aω)ejωbdω

Переменная времени в обратном преобразовании Фурье является параметром перевода, b.

Это предполагает, что можно вычислить CWT с обратным преобразованием Фурье. Поскольку существуют эффективные алгоритмы для вычисления дискретного преобразования Фурье и его инверсии, можно часто достигать значительных сбережений при помощи fft и ifft, если это возможно.

Чтобы получить изображение CWT в области Фурье, запустите с определения вейвлета, преобразуйте:

<f(t),ψa,b(t)>=1af(t)ψ*(tba)dt

Если вы задаете:

ψ˜a(t)=1aψ*(t/a)

можно переписать вейвлет, преобразовывают как

(fψ˜a)(b)=f(t)ψ˜a(bt)dt

который явным образом выражает CWT как свертку.

Чтобы реализовать дискретизированную версию CWT, примите, что входная последовательность является длиной N вектор, x[n]. Дискретная версия предыдущей свертки:

Wa[b]=n=0N1x[n]ψ˜a[bn]

Чтобы получить CWT, кажется, что необходимо вычислить свертку для каждого значения параметра сдвига, b, и повторить этот процесс для каждой шкалы, a.

Однако, если эти две последовательности циркулярно расширены (periodized к длине N), можно выразить круговую свертку как продукт дискретных преобразований Фурье. CWT является обратным преобразованием Фурье продукта

Wa(b)=1N2πΔtk=0N1X(2πk/NΔt)ψ*(a2πk/NΔt)ej2πkb/N

где Δt является интервалом выборки (период).

При выражении CWT, когда обратное преобразование Фурье позволяет вам использовать в вычислительном отношении эффективный fft и алгоритмы ifft, чтобы уменьшать стоимость вычислительных сверток.

Функция cwt реализует CWT.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте