Функция icwt реализует обратный CWT. Используя icwt требует, чтобы вы получили CWT из cwt.
Поскольку CWT является избыточным преобразованием, нет уникального способа задать инверсию. Обратный CWT, реализованный в Wavelet Toolbox™, использует аналитический вейвлет Морзе и нормализацию L1.
Обратный CWT классически представлен в форме двойного интеграла. Примите, что у вас есть вейвлет с преобразованием Фурье, которое удовлетворяет условие допустимости:
Для вейвлетов, удовлетворяющих условие допустимости и функции конечной энергии, f(t), можно задать обратный CWT как:
Для анализа вейвлетов и функций, удовлетворяющих следующие условия, существует одна интегральная формула для обратного CWT. Эти условия:
Анализируемая функция, f(t), с действительным знаком, и вейвлет анализа имеет преобразование Фурье с действительным знаком.
Анализируемая функция, f(t), с действительным знаком, и преобразование Фурье вейвлета анализа имеет поддержку только на съемочной площадке неотрицательных частот. Это упоминается как аналитический вейвлет. Функция, преобразование Фурье которой только имеет поддержку на съемочной площадке неотрицательных частот, должна быть с комплексным знаком.
Предыдущие условия ограничивают набор возможных вейвлетов анализа. Вейвлеты, поддержанные cwt, аналитичны. Поскольку тулбокс только поддерживает анализ действительных функций, условие с действительным знаком на анализируемой функции всегда удовлетворяется.
Чтобы мотивировать одну интегральную формулу, позвольте ψ1 и ψ2 быть двумя вейвлетами, которые удовлетворяют следующее условие допустимости 2D вейвлета:
Задайте константу:
Постоянное вышеупомянутое может быть с комплексным знаком. Позвольте f(t) и g(t) быть двумя конечными энергетическими функциями. Если условие допустимости 2D вейвлета удовлетворено, следующее равенство содержит:
где <> обозначает, что скалярное произведение, * обозначает сопряженное комплексное число и зависимость ψ1 и ψ2 в шкале, и положение было подавлено для удобства.
Ключ к одной интегральной формуле для обратного CWT должен распознать, что условие допустимости 2D вейвлета может быть удовлетворено, не ли один из вейвлетов допустим. Другими словами, не необходимо что и ψ1 и ψ2 быть отдельно допустимым. Можно также ослабить требования далее, позволив одной из функций и вейвлетов быть дистрибутивами. Первым разрешением g(t) быть функцией дельты Дирака (распределение) и также позволяющий ψ2, чтобы быть функцией дельты Дирака, можно вывести одну интегральную формулу для обратного CWT
где Re{ } обозначает действительную часть.
Предыдущее уравнение демонстрирует, что можно восстановить сигнал путем подведения итогов масштабированных коэффициентов CWT по всем шкалам.
Путем подведения итогов масштабированных коэффициентов CWT от избранных шкал вы получаете приближение к исходному сигналу. Это полезно в ситуациях, где ваше явление интереса локализуется по своим масштабам.
icwt реализует дискретизированную версию вышеупомянутого интеграла.
