Об индексах пассивности и пассивности

Пассивное управление часто является частью требований техники безопасности в приложениях, таких как управление процессом, дистанционное управление, человеко-машинные интерфейсы и системные сети. Система пассивна, если она не может произвести энергию самостоятельно и может только рассеять энергию, которая хранится в ней первоначально. В более общем плане карта ввода-вывода пассивна, если, в среднем, увеличение производство y требует увеличения входа u.

Например, ПИД-регулятор пассивен, потому что управляющий сигнал (выход) перемещается в то же направление как сигнал ошибки (вход). Но ПИД-регулятор с задержкой не пассивен, потому что управляющий сигнал может переместиться в противоположное направление от ошибки, потенциальной причины нестабильности.

Большинство физических систем пассивно. Теорема Пассивности содержит это, соединение отрицательной обратной связи двух строго пассивных систем пассивно и устойчиво. В результате может быть желательно осуществить пассивность контроллера для пассивной системы или пассивировать оператор пассивной системы, такой как драйвер автомобиля.

На практике пассивность может легко быть уничтожена задержками фазы, введенными датчиками, приводами и коммуникационными задержками. Эти проблемы привели к расширению Теоремы Пассивности, которые рассматривают излишки или нехватку пассивности, зависимые частотой меры пассивности и соединение свойств маленького усиления и пассивности.

Пассивные системы

Линейная система $G (s)$ пассивно если все траектории ввода/вывода $y (t) = G u (t)$ удовлетворите:

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > 0, \forall T > 0,$

где $y^{T} (t)$ обозначает транспонирование $y (t)$ . Для физических систем интеграл обычно представляет энергию, входящую в систему. Таким образом пассивные системы являются системами, которые только используют или рассеивают энергию. В результате пассивные системы внутренне устойчивы.

В частотном диапазоне пассивность эквивалентна "положительному действительному" условию:

$G (j ω) + G^{H} (j ω) > 0, \forall ω \in R .$

Для систем SISO это говорит это $R e (G (j ω)) > 0$ на всех частотах, таким образом, целый годограф Найквиста находится в правой полуплоскости.

nyquist(tf([1 3 5],[5 6 1]))

Годограф Найквиста пассивной системы

Пассивные системы имеют следующие важные свойства в целях управления:

Инверсия пассивной системы пассивна.
Параллельное соединение пассивных систем пассивно (см. Параллельное Соединение Пассивных Систем).
Соединение обратной связи пассивных систем пассивно (см. Соединение Обратной связи Пассивных Систем).

При управлении пассивной системой с неизвестными или переменными характеристиками поэтому желательно использовать пассивный закон об обратной связи, чтобы гарантировать устойчивость с обратной связью. Эта задача может быть представлена трудная, учитывая, что задержки и значительная задержка фазы уничтожают пассивность.

Направленные индексы пассивности

Для устойчивости, зная, пассивна ли система или не не рассказывает полную историю. Часто желательно знать тем, насколько это пассивно или не удается быть пассивным. Кроме того, нехватка пассивности на объекте может быть компенсирована избытком пассивности в контроллере, и наоборот. Поэтому важно измерить избыток или нехватку пассивности, и это - то, где индексы пассивности играют роль.

Существуют различные типы индексов с различными приложениями. Один класс индексов измеряет избыток или нехватку пассивности в конкретном направлении пробела ввода/вывода. Например, входной индекс пассивности задан как самое большое $ν$ таким образом, что:

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > ν \int_{0}^{T} u^{T} (t) u (t)) d t,$

для всех траекторий $y (t) = G u (t)$ и $T > 0$ . Система G является строго пассивным входом (ISP) когда $ν > 0$ , и имеет нехватку пассивности когда $ν < 0$ . Входной индекс пассивности также называется индексом входа пассивности feedforward (IFP), потому что это соответствует минимальному статическому действию feedforward, должен был сделать систему пассивной.

В частотном диапазоне входной индекс пассивности характеризуется:

$ν = \frac{1}{2} \min_{ω} λ_{\min} (G (j ω) + G^{H} (j ω)),$

где $λ_{\min}$ обозначает самое маленькое собственное значение. В случае SISO, $ν$ абсцисса крайней левой точки на кривой Найквиста.

Точно так же выходной индекс пассивности задан как самое большое $ρ$ таким образом, что:

$\int_{0}^{T} (y^{T} (t) u (t) d t > ρ \int_{0}^{T} y^{T} (t) y (t)) d t,$

для всех траекторий $y (t) = G u (t)$ и $T > 0$ . Система G является строго пассивным выходом (OSP) когда $ρ > 0$ , и имеет нехватку пассивности когда $ρ < 0$ . Выходной индекс пассивности также называется индексом выходной пассивности обратной связи (OFP), потому что это соответствует минимальному статическому действию обратной связи, должен был сделать систему пассивной.

В частотном диапазоне, выходном индексе пассивности минимально-фазовой системы $G (s)$ дают:

$ρ = \frac{1}{2} \min_{ω} λ_{\min} (G^{- 1} (j ω) + G^{- H} (j ω)) .$

В случае SISO, $ρ$ абсцисса крайней левой точки на кривой Найквиста $G^{- 1} (s)$ .

Объединение этих двух понятий приводит к индексу пассивности ввода-вывода, который является самым большим $τ$ таким образом, что:

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > τ \int_{0}^{T} (u^{T} (t) u (t) + y^{T} (t) y (t)) d t .$

Система с $τ > 0$ очень строго пассивно. В более общем плане мы можем задать индекс в направлении $δ Q$ как самое большое $τ$ таким образом, что:

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > τ \int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} δ Q (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t .$

Вход, выход и индексы пассивности ввода-вывода все соответствуют специальному выбору $δ Q$ и коллективно упоминаются как направленные индексы пассивности. Можно использовать getPassiveIndex вычислить любой из этих индексов для линейных систем или в параметрическом или в форма FRD. Можно также использовать passiveplot чтобы построить вход, выведите, или индексы пассивности ввода-вывода как функция частоты. Этот график обеспечивает понимание, какие диапазоны частот имеют более слабую или более сильную пассивность.

Существует много определений количества результатов, как индексы пассивности ввода и вывода распространяют через параллель, ряд или соединения обратной связи. Существуют также результаты, определяющие количество избытка пассивности ввода или вывода, должен был компенсировать данную нехватку пассивности в обратной связи. Для получения дополнительной информации см.:

Относительный индекс пассивности

Положительное действительное условие для пассивности:

$G (j ω) + G^{H} (j ω) > 0 \forall ω \in R,$

эквивалентно небольшому условию усиления:

$| | (I - G (j ω)) (I + G (j ω))^{- 1} | | < 1 \forall ω \in R .$

Мы можем поэтому использовать пиковое усиление $(I - G) (I + G)^{- 1}$ как мера пассивности. А именно, позвольте

$R : = {‖ (I - G) (I + G)^{- 1} ‖}_{\infty} .$

Затем $G$ пассивно если и только если $R < 1$ , и $R > 1$ указывает на нехватку пассивности. Обратите внимание на то, что $R$ конечно если и только если $I + G$ минимальная фаза. Мы обращаемся к $R$ как относительный индекс пассивности или R-индекс. Во временном интервале R-индекс является самым маленьким $r > 0$ таким образом, что:

$\int_{0}^{T} | | y - u | |^{2} d t < r^{2} \int_{0}^{T} | | y + u | |^{2} d t,$

для всех траекторий $y (t) = G u (t)$ и $T > 0$ когда $I + G$ минимальная фаза, можно использовать passiveplot построить основные усиления $(I - G (j ω)) (I + G (j ω))^{- 1}$ . Этот график полностью походит на график сингулярного значения (см. sigma), и показывает, как степень пассивности изменяется с частотой и направлением.

Следующий результат походит на Маленькую Теорему Усиления для обратной связи. Это дает простое условие на R-индексах для компенсации нехватки пассивности в одной системе избытком пассивности в другом.

Маленькая-R теорема: Пусть $G_{1} (s)$ и $G_{2} (s)$ будьте двумя линейными системами с R-индексами пассивности $R_{1}$ и $R_{2}$ , соответственно. Если $R_{1} R_{2} < 1$ , затем соединение отрицательной обратной связи $G_{1}$ и $G_{2}$ устойчиво.

Документация