О границах сектора и индексах сектора

Конические секторы

В его самой простой форме конический сектор является 2D областью, разграниченной двумя линиями, $y = a u$ и $y = b u$ .

Теневая область характеризуется неравенством $(y - a u) (y - b u) < 0$ . В более общем плане любой такой сектор может быть параметризован как:

${(\begin{array}{c} y \\ u \end{array})}^{T} Q (\begin{array}{c} y \\ u \end{array}) < 0,$

где $Q$ 2x2 симметричная неопределенная матрица ( $Q$ имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение). Мы вызываем $Q$ матрица сектора. Эта концепция делает вывод к более высоким размерностям. В N-мерном пространстве конический сектор является набором:

$S = {z \in R^{N} : z^{T} Q z < 0},$

где $Q$ снова симметричная неопределенная матрица.

Границы сектора

Границы сектора являются ограничениями на поведение системы. Получите ограничения, и ограничения пассивности являются особыми случаями границ сектора. Если для всех ненулевых входных траекторий $u (t)$ , выходная траектория $z (t) = (H u) (t)$ из линейной системы $H (s)$ удовлетворяет:

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) Q z (t) d t < 0, \forall T > 0,$

затем выходные траектории $H$ лгите в коническом секторе с матрицей $Q$ . Отличающийся выбор $Q$ матрицы налагают различные условия на ответ системы. Например, рассмотрите траектории $y (t) = (G u) (t)$ и следующие значения:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} 0 & - I \\ - I & 0 \end{array}) .$

Эти значения соответствуют связанному сектору:

$\int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} (\begin{array}{cc} 0 & - I \\ - I & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t < 0, \forall T > 0 .$

Этот связанный сектор эквивалентен условию пассивности для $G (s)$ :

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > 0, \forall T > 0 .$

Другими словами, пассивность является конкретным сектором, привязал систему, заданную:

$H = (\begin{array}{c} G \\ I \end{array}) .$

Условие частотного диапазона

Поскольку условие временного интервала должно содержать для всех $T > 0$ , получение эквивалентного связанного частотного диапазона проявляет немного заботы и не всегда возможно. Позвольте следующему:

$Q = W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}$

будьте (любым) разложением неопределенной матрицы $Q$ в его положительные и отрицательные части. Когда $W_{2}^{T} H (s)$ квадратная и минимальная фаза (не имеет никаких нестабильных нулей), условие временного интервала:

$\int_{0}^{T} (H u) (t)^{T} Q (H u) (t) d t < 0, \forall T > 0$

эквивалентно условию частотного диапазона:

$H (j ω)^{H} Q H (j ω) < 0 \forall ω \in R .$

Поэтому достаточно проверять неравенство сектора на действительные частоты. Используя разложение $Q$ , это также эквивалентно:

${‖ (W_{1}^{T} H) (W_{2}^{T} H)^{- 1} ‖}_{\infty} < 1 .$

Обратите внимание на то, что $W_{2}^{T} H$ является квадратным когда $Q$ имеет столько же отрицательных собственных значений, сколько вход образовывает канал в $H (s)$ . Если это условие не соблюдают, это больше не достаточно (в целом), чтобы только посмотреть на действительные частоты. Отметьте также это если $W_{2}^{T} H (s)$ является квадратным, затем это должна быть минимальная фаза для сектора, обязанного содержать.

Эта характеристика частотного диапазона является основанием для sectorplot. А именно, sectorplot строит сингулярные значения $(W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- 1}$ как функция частоты. Связанному сектору удовлетворяют, если и только если самое большое сингулярное значение остается ниже 1. Кроме того, график содержит полезную информацию о диапазонах частот, где связанному сектору удовлетворяют или нарушают, и степень, до которой этому удовлетворяют или нарушают.

Например, исследуйте график сектора системы с 2 входами, с 2 выходами для конкретного сектора.

rng(4,'twister');
H = rss(3,4,2); 
Q = [-5.12   2.16  -2.04   2.17
      2.16  -1.22  -0.28  -1.11
     -2.04  -0.28  -3.35   0.00
      2.17  -1.11   0.00   0.18];
sectorplot(H,Q)

График показывает что самое большое сингулярное значение $(W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- 1}$ превышает 1 ниже приблизительно 0,5 рад/с и в узкой полосе приблизительно 3 рад/с. Поэтому H не удовлетворяет сектору, связанному представленный Q.

Относительный индекс сектора

Мы можем расширить понятие относительного индекса пассивности к произвольным секторам. Пусть $H (s)$ будьте системой LTI, и позвольте:

$Q = W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}, W_{1}^{T} W_{2} = 0$

будьте ортогональным разложением $Q$ в его положительные и отрицательные части, как с готовностью получен из разложения Шура $Q$ . Относительный индекс сектора $R$ , или R-индекс, задан как самое маленькое $r > 0$ таким образом это для всех выходных траекторий $z (t) = (H u) (t)$ :

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) (W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}) z (t) d t < 0, \forall T > 0 .$

Поскольку увеличение $r$ делает $W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ более отрицательный, для неравенства обычно удовлетворяют $r$ достаточно большой. Однако существуют случаи, когда этому никогда нельзя удовлетворять, в этом случае R-индекс $R = + \infty$ . Безусловно, исходному связанному сектору удовлетворяют если и только $R \leq 1$ .

Чтобы изучить геометрическую интерпретацию R-индекса, рассмотрите семейство конусов с матрицей $Q (r) = W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ . В 2D, коническом наклонном углу $θ$ связан с $r$

$\tan (θ) = r \frac{‖ W_{2} ‖}{‖ W_{1} ‖}$

(см. схему ниже). В более общем плане, $\tan (θ)$ пропорционально $R$ . Таким образом, учитывая конический сектор с матрицей $Q$ , значение R-индекса $R < 1$ средние значения, которые мы можем уменьшать $\tan (θ)$ (сузьте конус) фактором $R$ перед некоторой выходной траекторией $H$ покидает конический сектор. Точно так же значение $R > 1$ средние значения, которые мы должны увеличить $\tan (θ)$ (расширьте конус) фактором $R$ включать все выходные траектории $H$ . Это ясно делает R-индекс относительной мерой как хорошо ответ $H$ помещается в конкретный конический сектор.

В схеме,

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{‖ W_{1} ‖}, d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{‖ W_{2} ‖}, R = \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |},$

$\tan (θ) = \frac{d_{1}}{d_{2}} = R \frac{‖ W_{2} ‖}{‖ W_{1} ‖} .$

Когда $W_{2}^{T} H (s)$ квадратная и минимальная фаза, R-индекс может также быть охарактеризован в частотном диапазоне как самое маленькое $r > 0$ таким образом, что:

$H (j ω)^{H} (W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}) H (j ω) < 0 \forall ω \in R .$

Используя элементарную алгебру, это приводит к:

$R = \max_{ω} ‖ (W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- 1} ‖ .$

Другими словами, R-индекс является пиковым усилением (устойчивой) передаточной функции $Φ (s) : = (W_{1}^{T} H (s)) (W_{2}^{T} H (s))^{- 1}$ , и сингулярные значения $Φ (j w)$ могите рассматриваться как "основные" R-индексы на каждой частоте. Это также объясняет, почему графический вывод R-индекса по сравнению с частотой похож на график сингулярного значения (см. sectorplot). Существует полная аналогия между относительным индексом сектора и системным усилением. Обратите внимание, однако, что эта аналогия только содержит когда $W_{2}^{T} H (s)$ квадратная и минимальная фаза.

Направленный индекс сектора

Точно так же мы можем расширить понятие направленного индекса пассивности к произвольным секторам. Учитывая конический сектор с матрицей $Q$ , и направление $δ Q$ , направленный индекс сектора является самым большим $τ$ таким образом это для всех выходных траекторий $z (t) = (H u) (t)$ :

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) (Q + τ δ Q) z (t) d t < 0, \forall T > 0 .$

Направленная пассивность индексирует для системы $G (s)$ соответствует:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} 0 & - I \\ - I & 0 \end{array}) .$

Направленный сектор индексирует меры тем, насколько мы должны деформировать сектор в направлении $δ Q$ заставить его соответствовать плотно вокруг выходных траекторий $H$ . Связанному сектору удовлетворяют, если и только если направленный индекс положителен.

Общие секторы

Существует много способов задать границы сектора. Затем мы рассматриваем выражения, с которыми обычно сталкиваются, и даем соответствующую систему $H$ и матрица сектора $Q$ для стандартной формы, используемой getSectorIndex и sectorplot:

$\int_{0}^{T} (H u) (t)^{T} Q (H u) (t) d t < 0, \forall T > 0 .$

Для простоты эти описания используют обозначение:

$‖ x ‖_{T} = \int_{0}^{T} ‖ x (t) ‖^{2} d t,$

и не используйте $\forall T > 0$ требование.

Пассивность

Пассивность является сектором, связанным с:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} 0 & - I \\ - I & 0 \end{array}) .$

Получите ограничение

Ограничение усиления ${‖ G ‖}_{\infty} < γ$ сектор, связанный с:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & - γ^{2} I \end{array}) .$

Отношение расстояний

Рассмотрите "внутреннее" ограничение,

$‖ y - c u ‖_{T} < r ‖ u ‖_{T}$

где $c, r$ скаляры и $y (t) = (G u) (t)$ . Это - сектор, связанный с:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} I & - c I \\ - c I & (c^{2} - r^{2}) I \end{array}) .$

Базовый конический сектор симметричен относительно $y = c u$ . Точно так же "внешнее" ограничение,

$‖ y - c u ‖_{T} > r ‖ u ‖_{T}$

сектор, связанный с:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} - I & c I \\ c I & (r^{2} - c^{2}) I \end{array}) .$

Двойное неравенство

При контакте со статической нелинейностью распространено рассмотреть конические секторы формы

$a u^{2} < y u < b u^{2},$

где $y = ϕ (u)$ нелинейность выход. В то время как это отношение не является сектором, связанным по сути, оно ясно подразумевает:

$a \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t < \int_{0}^{T} y (t) u (t) d t < b \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t$

вдоль всех траекторий ввода-вывода и для всех $T > 0$ . Это условие в свою очередь эквивалентно сектору, связанному с:

$H (s) = (\begin{array}{c} ϕ (.) \\ 1 \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} 1 & - (a + b) / 2 \\ - (a + b) / 2 & a b \end{array}) .$

Форма продукта

Обобщенные границы сектора формы:

$\int_{0}^{T} (y (t) - K_{1} u (t))^{T} (y (t) - K_{2} u (t)) d t < 0$

соответствуйте:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} 2 I & - (K_{2} + K_{1}^{T}) \\ - (K_{1} + K_{2}^{T}) & K_{1}^{T} K_{2} + K_{2}^{T} K_{1} \end{array}) .$

Как прежде, статический сектор связал:

$(y - K_{1} u)^{T} (y - K_{2} u) < 0$

подразумевает интегральный сектор, связанный выше.

Диссипативный QSR

Система $y = G u$ QSR-диссипативно, если это удовлетворяет:

$\int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} (\begin{array}{cc} Q & S \\ S^{T} & R \end{array}) (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t > 0, \forall T > 0 .$

Это - сектор, связанный с:

$H (s) = (\begin{array}{c} G (s) \\ I \end{array}), Q = - (\begin{array}{cc} Q & S \\ S^{T} & R \end{array}) .$

Документация