Оцените условные модели среднего значения и отклонения

В этом примере показано, как оценить составное условное среднее значение и модель отклонения использование estimate.

Загрузите данные и задайте модель.

Загрузите данные NASDAQ, включенные с тулбоксом. Преобразуйте ряд сводного индекса дневного закрытия в ряд возврата. Для числовой устойчивости преобразуйте возвраты в процент, возвращается. Задайте AR (1) и GARCH (1,1) составная модель. Это - модель формы

$r_{t} = c + ϕ_{1} r_{t - 1} + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ ,

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2},$

и $z_{t}$ независимый политик и тождественно распределил стандартизированный Гауссов процесс.

load Data_EquityIdx
nasdaq = DataTable.NASDAQ;
r = 100*price2ret(nasdaq);
T = length(r);

Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',garch(1,1))

Mdl = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               D: 0
               Q: 0
        Constant: NaN
              AR: {NaN} at lag [1]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1×0]
        Variance: [GARCH(1,1) Model]

Оцените параметры модели без Использования преддемонстрационных данных.

Подбирайте модель, Mdl, к ряду возврата, r, использование estimate. Используйте преддемонстрационные наблюдения что estimate автоматически генерирует.

EstMdl = estimate(Mdl,r);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.072632      0.018047         4.0245       5.709e-05
    AR{1}        0.13816      0.019893          6.945      3.7846e-12

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.022377      0.0033201        6.7399      1.5853e-11
    GARCH{1}     0.87312      0.0091019        95.928               0
    ARCH{1}      0.11865       0.008717        13.611       3.434e-42

Отображение оценки показывает пять предполагаемых параметров и их соответствующие стандартные погрешности (AR (1), условная средняя модель имеет два параметра и GARCH (1,1), условная модель отклонения имеет три параметра).

Подобранная модель (EstMdl)

$r_{t} = 0 . 073 + 0 . 138 r_{t - 1} + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$σ_{t}^{2} = 0 . 022 + 0 . 873 σ_{t - 1}^{2} + 0 . 119 ε_{t - 1}^{2} .$

Все t статистические данные больше два, предполагая, что все параметры являются статистически значительными.

Выведите условные отклонения и остаточные значения.

Выведите и постройте условные отклонения и стандартизированные остаточные значения. Также выведите значение целевой функции логарифмической правдоподобности.

[res,v,logL] = infer(EstMdl,r);

figure
subplot(2,1,1)
plot(v)
xlim([0,T])
title('Conditional Variance')

subplot(2,1,2)
plot(res./sqrt(v))
xlim([0,T])
title('Standardized Residuals')

Условное увеличение отклонений после наблюдения 2000. Это соответствует увеличенной энергозависимости, замеченной в исходном ряду возврата.

Стандартизированные остаточные значения имеют более большие значения (больше, чем 2 или 3 в абсолютном значении), чем ожидалось при стандартном нормальном распределении. Это предполагает, что t распределение Студента может более подходить для инновационного распределения.

Подберите Модель С t-инновационным Распределением.

Измените модель так, чтобы она имела t-инновационное распределение Студента. Подбирайте модифицированную модель к NASDAQ, возвращают ряд. Задайте начальное значение для модели отклонения постоянный термин.

MdlT = Mdl;
MdlT.Distribution = 't';
EstMdlT = estimate(MdlT,r,'Variance0',{'Constant0',0.001});

 
    ARIMA(1,0,0) Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.093488      0.016694         5.6002      2.1414e-08
    AR{1}        0.13911      0.018857         7.3771      1.6172e-13
    DoF           7.4775       0.88262          8.472      2.4126e-17

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.011246      0.0036305        3.0976       0.0019511
    GARCH{1}     0.90766       0.010516        86.315               0
    ARCH{1}     0.089897       0.010835        8.2966      1.0711e-16
    DoF           7.4775        0.88262         8.472      2.4126e-17

Содействующие оценки изменяются немного, когда t распределение используется в инновациях. Вторая подгонка модели (EstMdlT) имеет одну дополнительную оценку параметра, t степени свободы распределения. Предполагаемые степени свободы относительно малы (приблизительно 8), указывая на значительное отклонение от нормальности.

Сравните подгонки модели.

Сравните две подгонки модели (Гауссов и t-инновационное распределение) использование Критерия информации о Akaike (AIC) и Байесового информационного критерия (BIC). Во-первых, получите значение целевой функции логарифмической правдоподобности для второй подгонки.

[resT,vT,logLT] = infer(EstMdlT,r);
[aic,bic] = aicbic([logL,logLT],[5,6],T)

aic = 1×2
10³ ×

    9.4929    9.3807

bic = 1×2
10³ ×

    9.5230    9.4168

Вторая модель имеет шесть параметров по сравнению с пять в первой модели (из-за t степеней свободы распределения). Несмотря на это, оба информационных критерия способствуют модели с t распределением Студента. AIC и значения BIC меньше для t инновационного распределения.

Документация