Калибруйте Модель SABR с помощью Нормальных Колебаний (Bachelier) с Отрицательными Забастовками

То В этом примере показано, как использовать два различных метода, чтобы калибровать стохастическую модель энергозависимости SABR с рынка, подразумевало Нормальные колебания (Bachelier) с отрицательными забастовками. Оба подхода используют normalvolbysabr, который вычисляет подразумеваемые Нормальные колебания при помощи модели SABR. Когда Beta параметр модели SABR обнуляется, модель является моделью Normal SABR, которая позволяет вычислять подразумеваемые Нормальные колебания для отрицательных забастовок.

Загрузите рынок подразумеваемые нормальные данные об энергозависимости (Bachelier)

Настройте подразумеваемые Нормальные колебания гипотетического рынка для европейского swaptions в области значений забастовок перед калибровкой. swaptions истекают за один год от Settle дата и имеет подкачки 2D года как базовый инструмент. Уровни выражаются в десятичных числах. Рынок подразумевал, что Нормальные колебания преобразованы от пунктов до десятичных чисел. (Изменение модулей влияет на численное значение и интерпретацию Alpha вход параметра к функциональному normalvolbysabr.)

% Load the market implied Normal volatility data for swaptions expiring in one year.
Settle = '20-Sep-2017';
ExerciseDate = '20-Sep-2018';
Basis = 1;

ATMStrike = -0.174/100;
MarketStrikes = ATMStrike + ((-0.5:0.25:1.5)')./100;
MarketVolatilities = [20.58 17.64 16.93 18.01 20.46 22.90 26.11 28.89 31.91]'/10000;

% At the time of Settle, define the underlying forward rate and the at-the-money volatility.
CurrentForwardValue = MarketStrikes(3)

CurrentForwardValue = -0.0017

ATMVolatility = MarketVolatilities(3)

ATMVolatility = 0.0017

Метод 1: калибруйте `Alpha\rho`, и `Nu` Непосредственно

Этот раздел демонстрирует, как калибровать Alpha\rho, и Nu параметры непосредственно. Значение Beta параметр обнуляется для того, чтобы позволить отрицательные уровни в модели SABR (Нормальный SABR). После фиксации значения $β$ \beta), параметры $α$ \alpha), $ρ$ \rho), и $ν$ \nu) все адаптированы непосредственно. Функция Optimization Toolbox™ lsqnonlin генерирует значения параметров, которые минимизируют квадратичную невязку между волатильностью рынка и колебаниями, вычисленными normalvolbysabr.

% Define the predetermined Beta
Beta1 = 0; % Setting Beta to zero allows negative rates for Normal volatilities

% Calibrate Alpha, Rho, and Nu
objFun = @(X) MarketVolatilities - ...
    normalvolbysabr(X(1), Beta1, X(2), X(3), Settle, ...
    ExerciseDate, CurrentForwardValue, MarketStrikes, 'Basis', Basis);

% If necessary, tolerances and stopping criteria can be adjusted for lsqnonlin 
X = lsqnonlin(objFun, [ATMVolatility 0 0.5], [0 -1 0], [Inf 1 Inf]);

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

Alpha1 = X(1);
Rho1 = X(2);
Nu1 = X(3);

Метод 2: калибруйте `Rho` и `Nu` допущением `Alpha` от энергозависимости в деньгах

Этот раздел демонстрирует, как использовать альтернативный калибровочный метод где значение $β$ снова предопределяется, чтобы быть нулем для того, чтобы позволить отрицательные уровни. Однако после фиксации значения $β$ \beta), параметры $ρ$ \rho), и $ν$ \nu) адаптированы непосредственно в то время как $α$ \alpha) подразумевается с рынка энергозависимость в деньгах. Калиброванное использование моделей этого метода производит колебания в деньгах, которые равны рыночным котировкам. Этот подход может быть полезным, когда колебания в деньгах заключаются в кавычки наиболее часто и важны для соответствия. Для того, чтобы подразумевать $α$ \alpha) с рынка Нормальная энергозависимость в деньгах ( $σ_{N o r m a l, A T M}$ ), следующий кубический полином решен для $α$ \alpha), и самый маленький положительный действительный корень выбран. Это похоже на подход, используемый в допущении $α$ \alpha) с рынка в деньгах Черная энергозависимость [2]. Однако обратите внимание, что следующее выражение, которое используется в Нормальных колебаниях, отличается от другого выражения, которое используется в Черных колебаниях.

$\frac{β (β - 2) T}{24 F^{(2 - 2 β)}} α^{3} + \frac{ρ β ν T}{4 F^{(1 - β)}} α^{2} + (1 + \frac{2 - 3 ρ^{2}}{24} ν^{2} T) α - σ_{N o r m a l, A T M} F^{- β} = 0$

% Define the predetermined Beta
Beta2 = 0; % Setting Beta to zero allows negative rates for Normal volatilities

% Year fraction from Settle to option maturity
T = yearfrac(Settle, ExerciseDate, Basis);

% This function solves the SABR at-the-money volatility equation as a
% polynomial of Alpha
alpharootsNormal = @(Rho,Nu) roots([...
    Beta2.*(Beta2 - 2)*T/24/CurrentForwardValue^(2 - 2*Beta2) ...
    Rho*Beta2*Nu*T/4/CurrentForwardValue^(1 - Beta2) ...
    (1 + (2 - 3*Rho^2)*Nu^2*T/24) ...
    -ATMVolatility*CurrentForwardValue^(-Beta2)]);

% This function converts at-the-money volatility into Alpha by picking the
% smallest positive real root 
atmNormalVol2SabrAlpha = @(Rho,Nu) min(real(arrayfun(@(x) ...
    x*(x>0) + realmax*(x<0 || abs(imag(x))>1e-6), alpharootsNormal(Rho,Nu))));

% Calibrate Rho and Nu (while converting at-the-money volatility into Alpha
% using atmVol2NormalSabrAlpha)
objFun = @(X) MarketVolatilities - ...
    normalvolbysabr(atmNormalVol2SabrAlpha(X(1), X(2)), ...
    Beta2, X(1), X(2), Settle, ExerciseDate, CurrentForwardValue, ...
    MarketStrikes, 'Basis', Basis);

% If necessary, tolerances and stopping criteria can be adjusted for lsqnonlin 
X = lsqnonlin(objFun, [0 0.5], [-1 0], [1 Inf]);

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

Rho2 = X(1);
Nu2 = X(2);

% Obtain final Alpha from at-the-money volatility using calibrated parameters
Alpha2 = atmNormalVol2SabrAlpha(Rho2, Nu2);

% Display calibrated parameters
C = {Alpha1 Beta1 Rho1 Nu1;Alpha2 Beta2 Rho2 Nu2};
format;
CalibratedPrameters = cell2table(C,...
    'VariableNames',{'Alpha' 'Beta' 'Rho' 'Nu'},...
    'RowNames',{'Method 1';'Method 2'})

CalibratedPrameters=2×4 table
                  Alpha      Beta       Rho         Nu   
                _________    ____    _________    _______

    Method 1    0.0016332     0      -0.034233    0.45877
    Method 2    0.0016652     0        -0.0318    0.44812

Используйте калиброванные модели

Используйте калиброванные модели, чтобы вычислить новые колебания в любом значении забастовки, включая отрицательные забастовки.

Вычислите колебания для моделей, калиброванных с помощью Метода 1 и Метода 2, затем постройте результаты. Модель, калиброванная с помощью Метода 2, воспроизводит рынок энергозависимость в деньгах (отмеченный кругом) точно.

PlottingStrikes = (min(MarketStrikes)-0.0025:0.0001:max(MarketStrikes)+0.0025)';

% Compute volatilities for model calibrated by Method 1
ComputedVols1 = normalvolbysabr(Alpha1, Beta1, Rho1, Nu1, Settle, ...
    ExerciseDate, CurrentForwardValue, PlottingStrikes, 'Basis', Basis);

% Compute volatilities for model calibrated by Method 2
ComputedVols2 = normalvolbysabr(Alpha2, Beta2, Rho2, Nu2, Settle, ...
    ExerciseDate, CurrentForwardValue, PlottingStrikes, 'Basis', Basis);

figure;
plot(MarketStrikes,MarketVolatilities*10000,'xk',...
    PlottingStrikes,ComputedVols1*10000,'b', ...  
    PlottingStrikes,ComputedVols2*10000,'r', ...
    CurrentForwardValue,ATMVolatility*10000,'ok',...
    'MarkerSize',10);

h = gca;
line([0,0],[min(h.YLim),max(h.YLim)],'LineStyle','--');

xlabel('Strike', 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Implied Normal Volatility (bps)', 'FontWeight', 'bold');
legend('Market Volatilities', 'Normal SABR Model (Method 1)', ...
    'Normal SABR Model (Method 2)', 'At-the-money volatility', ...
    'Location', 'northwest');

Ссылки

[1] Хейган, P. S. Кумар, D., Лесниевский, A. S. и Лесничий, D. E. "Управляя риском улыбки". Журнал Wilmott, 2002.

[2] Запад, G. "Калибровка Модели SABR на Неликвидных Рынках". Прикладные Математические Финансы, 12 (4), стр 371–385, 2004.

Документация