Документация

Вращения в трех измерениях

Все вращения в 3-D могут быть заданы осью вращения и углом вращения вокруг той оси. Рассмотрите 3-D изображение заварного чайника в крайнем левом графике. Заварной чайник вращается 45 градусами вокруг оси Z во втором графике. Более комплексное вращение 15 градусов вокруг оси [1 0 1] показывают в третьем графике. Кватернионы инкапсулируют ось и угол вращения и имеют алгебру для управления этими вращениями. quaternion класс и этот пример, используют соглашение "правила правой руки" задать вращения. Таким образом, положительные вращения по часовой стрелке вокруг оси вращения, когда просматривается от источника.

dr.drawTeapotRotations;

Укажите вращение

Вершины заварного чайника вращались об оси вращения в системе координат. Рассмотрите вопрос (0.7, 0.5) вращал 30 градусов об оси Z.

figure;
dr.draw2DPointRotation(gca);

Структурируйте вращение

Вращение системы координат, в некотором смысле, противоположности вращения точки. Во вращении системы координат вращаются точки объектного зафиксированного пребывания, но система отсчета. Снова, рассмотрите вопрос (0.7, 0.5). Теперь система координат вращается 30 градусами вокруг оси Z. Обратите внимание на то, что, в то время как точка (0.7, 0.5) остается фиксированной, она имеет различные координаты в новой, вращаемой системе отсчета.

figure;
dr.draw2DFrameRotation(gca);

Ориентация

Ориентация относится к угловому смещению объекта относительно системы отсчета. Как правило, ориентация описана вращением, которое вызывает это угловое смещение от стартовой ориентации. В этом примере ориентация задана как вращение, которое берет количество в родительской системе координат к дочерней системе координат. Ориентация обычно дается как кватернион, матрица вращения, набор Углов Эйлера или вектор вращения. Полезно думать об ориентации как вращение системы координат: дочерняя система координат вращается относительно родительской системы координат.

Рассмотрите пример, где дочерняя система координат вращается 30 градусов вокруг вектора [1/3 2/3 2/3].

figure;
dr.draw3DOrientation(gca, [1/3 2/3 2/3], 30);

Кватернионы

Кватернионы являются количествами формы

где

и и вещественные числа. В остальной части этого примера, этих четырех чисел и упоминаются как части кватерниона.

Кватернионы для вращений и ориентации

Ось и угол вращения инкапсулируются в частях кватерниона. Для оси единичного вектора вращения [x, y, z], и угол поворота, кватернион, описывающий это вращение,

Обратите внимание на то, что, чтобы описать вращение с помощью кватерниона, кватернион должен быть модульным кватернионом. Модульный кватернион имеет норму 1, где норма задана как

Существует множество способов создать кватернион в MATLAB, например:

q1 = quaternion(1,2,3,4)

q1 = 

  quaternion


     1 + 2i + 3j + 4k

Массивы кватернионов могут быть сделаны таким же образом:

quaternion([1 10; -1 1], [2 20; -2 2], [3 30; -3 3], [4 40; -4 4])

ans = 

  2x2 quaternion array


      1 +  2i +  3j +  4k     10 + 20i + 30j + 40k
     -1 -  2i -  3j -  4k      1 +  2i +  3j +  4k

Массивы с четырьмя столбцами могут также использоваться, чтобы создать кватернионы с каждым столбцом, представляющим часть кватерниона:

qmgk = quaternion(magic(4))

qmgk = 

  4x1 quaternion array


     16 +  2i +  3j + 13k
      5 + 11i + 10j +  8k
      9 +  7i +  6j + 12k
      4 + 14i + 15j +  1k

Кватернионы могут индексироваться и управляться точно так же, как любой другой массив:

qmgk(3)

ans = 

  quaternion


      9 +  7i +  6j + 12k

reshape(qmgk,2,2)

ans = 

  2x2 quaternion array


     16 +  2i +  3j + 13k      9 +  7i +  6j + 12k
      5 + 11i + 10j +  8k      4 + 14i + 15j +  1k

[q1; q1]

ans = 

  2x1 quaternion array


     1 + 2i + 3j + 4k
     1 + 2i + 3j + 4k

Математика кватерниона

Кватернионы начинают четко определенные арифметические операции. Сложение и вычитание похожи на комплексные числа: части добавляются/вычитаются независимо. Умножение более сложно из-за более раннего уравнения:

Это означает, что умножение кватернионов не является коммутативным. Таким образом, для кватернионов и. Однако каждый кватернион имеет мультипликативную инверсию, таким образом, кватернионы могут быть разделены. Массивы quaternion класс может быть добавлен, вычтен, умножен и разделен на MATLAB.

q = quaternion(1,2,3,4);
p = quaternion(-5,6,-7,8);

Сложение

p + q

ans = 

  quaternion


     -4 +  8i -  4j + 12k

Вычитание

p - q

ans = 

  quaternion


     -6 +  4i - 10j +  4k

Умножение

p*q

ans = 

  quaternion


    -28 - 56i - 30j + 20k

Умножение в обратном порядке (отмечают различный результат),

q*p

ans = 

  quaternion


    -28 + 48i - 14j - 44k

Правое деление p q эквивалентно.

p./q

ans = 

  quaternion


         0.6 +  2.2667i + 0.53333j - 0.13333k

Левое деление q p эквивалентно.

p.\q

ans = 

  quaternion


     0.10345 +  0.2069i +       0j - 0.34483k

Сопряженный из кватерниона формируется путем отрицания каждой из недействительных частей, похожих на спряжение для комплексного числа:

conj(p)

ans = 

  quaternion


    -5 - 6i + 7j - 8k

Кватернионы могут быть нормированы в MATLAB:

pnormed = normalize(p)

pnormed = 

  quaternion


    -0.37905 + 0.45486i - 0.53067j + 0.60648k

norm(pnormed)

ans =

     1

Укажите и структурируйте вращения с кватернионами

Кватернионы могут использоваться, чтобы вращать точки в статической системе отсчета или вращать саму систему отсчета. rotatepoint функция вращает точку с помощью кватерниона q посредством следующего уравнения:

где

и указывает на спряжение кватерниона. Отметьте вышеупомянутые результаты умножения кватерниона в кватернионе с действительной частью, равной 0., и части результата формируют вращаемую точку ().

Рассмотрите пример вращения точки сверху. Точка (0.7, 0.5) вращалась 30 градусов вокруг оси Z. В трех измерениях эта точка имеет 0 Z-координат. Используя формулировку угла оси, кватернион может быть создан с помощью [0 0 1] как ось вращения.

ang = deg2rad(30);
q = quaternion(cos(ang/2), 0, 0, sin(ang/2));
pt = [0.7, 0.5, 0];  % Z-coordinate is 0 in the X-Y plane
ptrot = rotatepoint(q, pt)

ptrot =

    0.3562    0.7830         0

Точно так же rotateframe функционируйте берет кватернион и точку, чтобы вычислить

Снова вышеупомянутое умножение кватерниона приводит к кватерниону с 0 действительными частями., части результата формируют координату точки в новой, вращаемой системе координат. Используя quaternion класс:

ptframerot = rotateframe(q, pt)

ptframerot =

    0.8562    0.0830         0

Кватернион и его сопряженное оказывают противоположные влияния из-за симметрии в точке и структурируют уравнения вращения. Вращение сопряженными "отменами" вращение.

rotateframe(conj(q), ptframerot)

ans =

    0.7000    0.5000         0

Из-за симметрии уравнений этот код выполняет то же вращение.

rotatepoint(q, ptframerot)

ans =

    0.7000    0.5000         0

Другие представления вращения

Часто вращения и ориентации описаны с помощью альтернативных средних значений: Углы Эйлера, матрицы вращения и/или векторы вращения. Все они взаимодействуют с кватернионами в MATLAB.

Углы Эйлера часто используются, потому что их легко интерпретировать. Считайте систему отсчета вращаемой 30 градусами вокруг оси Z, затем 20 градусами вокруг Оси Y, и затем-50 градусами вокруг Оси X. Отметьте здесь, и повсюду, вращения вокруг каждой оси являются внутренним параметром: каждое последующее вращение вокруг недавно созданного набора осей. Другими словами, второе вращение вокруг "новой" Оси Y, созданной первым вращением, не вокруг исходной Оси Y.

figure;
euld = [30 20 -50];
dr.drawEulerRotation(gca, euld);

Чтобы создать кватернион из этих Углов Эйлера в целях вращения системы координат, используйте quaternion конструктор. Поскольку порядок вращений вокруг оси Z сначала, затем вокруг новой Оси Y, и наконец вокруг новой Оси X, используйте 'ZYX' флаг.

qeul = quaternion(deg2rad(euld), 'euler', 'ZYX', 'frame')

qeul = 

  quaternion


      0.84313 -  0.44275i + 0.044296j +  0.30189k

'euler' флаг указывает, что первый аргумент исчисляется в радианах. Если аргумент в градусах, используйте 'eulerd' флаг.

qeuld = quaternion(euld, 'eulerd', 'ZYX', 'frame')

qeuld = 

  quaternion


      0.84313 -  0.44275i + 0.044296j +  0.30189k

Преобразовывать назад в Углы Эйлера:

rad2deg(euler(qeul, 'ZYX', 'frame'))

ans =

   30.0000   20.0000  -50.0000

Эквивалентно, eulerd метод может использоваться.

eulerd(qeul, 'ZYX', 'frame')

ans =

   30.0000   20.0000  -50.0000

В качестве альтернативы это то же вращение может быть представлено как матрица вращения:

rmat = rotmat(qeul, 'frame')

rmat =

    0.8138    0.4698   -0.3420
   -0.5483    0.4257   -0.7198
   -0.1926    0.7733    0.6040

Преобразование назад в кватернионы подобно:

quaternion(rmat, 'rotmat', 'frame')

ans = 

  quaternion


      0.84313 -  0.44275i + 0.044296j +  0.30189k

Так же, как кватернион может использоваться или в точке или во вращении системы координат, это может быть преобразовано в матрицу вращения (или набор Углов Эйлера) специально для вращения системы координат или точки. Матрица вращения для вращения точки является транспонированием матрицы для вращения системы координат. Чтобы преобразовать между представлениями вращения, необходимо задать 'point' или 'frame'.

Матрица вращения для раздела вращения точки этого примера:

rotmatPoint = rotmat(q, 'point')

rotmatPoint =

    0.8660   -0.5000         0
    0.5000    0.8660         0
         0         0    1.0000

Чтобы найти местоположение вращаемой точки, право - умножает rotmatPoint транспонированным массивом pt.

rotmatPoint * (pt')

ans =

    0.3562
    0.7830
         0

Матрица вращения для раздела вращения системы координат этого примера:

rotmatFrame = rotmat(q, 'frame')

rotmatFrame =

    0.8660    0.5000         0
   -0.5000    0.8660         0
         0         0    1.0000

Чтобы найти местоположение точки во вращаемой системе координат, право - умножает rotmatFrame транспонированным массивом pt.

rotmatFrame * (pt')

ans =

    0.8562
    0.0830
         0

Вектор вращения является альтернативной, компактной инкапсуляцией вращения. Вектор вращения является просто трехэлементным вектором, который представляет ось единичной длины вращения, увеличенного углом вращения в радианах. Нет никакого мыса системы координат или мыса точки, сопоставленного с вектором вращения. Преобразовывать в вектор вращения:

rv = rotvec(qeul)

rv =

   -0.9349    0.0935    0.6375

Преобразовывать в кватернион:

quaternion(rv, 'rotvec')

ans = 

  quaternion


      0.84313 -  0.44275i + 0.044296j +  0.30189k

Расстояние

Одним преимуществом кватернионов по Углам Эйлера является отсутствие разрывов. Углы Эйлера имеют разрывы, которые варьируются в зависимости от используемого соглашения. dist функция сравнивает эффект вращения двумя различными кватернионами. Результатом является номер в области значений 0 к pi. Считайте два кватерниона созданными из Углов Эйлера:

eul1 = [0, 10, 0];
eul2 = [0, 15, 0];
qdist1 = quaternion(deg2rad(eul1), 'euler', 'ZYX', 'frame');
qdist2 = quaternion(deg2rad(eul2), 'euler', 'ZYX', 'frame');

Вычитая Углы Эйлера, вы видите, что нет никакого вращения вокруг оси Z или Оси X.

eul2 - eul1

ans =

     0     5     0

Различием между этими двумя вращениями являются пять градусов вокруг Оси Y. dist показывает различие также.

rad2deg(dist(qdist1, qdist2))

ans =

    5.0000

Для Углов Эйлера, таких как eul1 и eul2, вычисление углового расстояния тривиально. Более комплексный пример, который охватывает разрыв Угла Эйлера:

eul3 = [0, 89, 0];
eul4 = [180, 89, 180];
qdist3 = quaternion(deg2rad(eul3), 'euler', 'ZYX', 'frame');
qdist4 = quaternion(deg2rad(eul4), 'euler', 'ZYX', 'frame');

Хотя eul3 и eul4 представляйте почти ту же ориентацию, простое вычитание Угла Эйлера производит впечатление, которое эти две ориентации очень далеко друг от друга.

euldiff = eul4 - eul3

euldiff =

   180     0   180

Используя dist функция на кватернионах показывает, что существует только различие 2D степени в этих вращениях:

euldist = rad2deg(dist(qdist3, qdist4))

euldist =

    2.0000

Кватернион и его отрицание представляют то же вращение. Это не очевидно из вычитания кватернионов, но dist функция проясняет.

qpos = quaternion(-cos(pi/4), 0 ,0, sin(pi/4))

qpos = 

  quaternion


    -0.70711 +       0i +       0j + 0.70711k

qneg = -qpos

qneg = 

  quaternion


     0.70711 +       0i +       0j - 0.70711k

qdiff = qpos - qneg

qdiff = 

  quaternion


    -1.4142 +      0i +      0j + 1.4142k

dist(qpos, qneg)

ans =

     0

Поддерживаемые функции

quaternion класс позволяет вам эффективно описать вращения и ориентации в MATLAB. Полный список поддержанных кватернионом функций может быть найден с methods функция:

methods('quaternion')

Methods for class quaternion:

cat                 ismatrix            power               
classUnderlying     isnan               prod                
compact             isrow               quaternion          
conj                isscalar            rdivide             
ctranspose          isvector            reshape             
disp                ldivide             rotateframe         
dist                length              rotatepoint         
double              log                 rotmat              
eq                  meanrot             rotvec              
euler               minus               rotvecd             
eulerd              mtimes              single              
exp                 ndims               size                
horzcat             ne                  slerp               
iscolumn            norm                times               
isempty             normalize           transpose           
isequal             numel               uminus              
isequaln            parts               validateattributes  
isfinite            permute             vertcat             
isinf               plus                

Static methods:

ones                zeros