Решение нежестких дифференциальных уравнений — метод низкого порядка точности
[, где t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0)tspan = [t0 tf], интегрирует систему дифференциальных уравнений от t0 к tf с начальными условиями y0. Каждая строка в массиве решения y соответствует значению, возвращенному в вектор-столбце t.
Все решатели MATLAB® ODE могут решить системы уравнений формы , или проблемы, которые включают большую матрицу, . Решатели все использование подобные синтаксисы. ode23s решатель только может решить задачи с большой матрицей, если большая матрица является постоянной. ode15s и ode23t может решить задачи с большой матрицей, которая сингулярна, известна как дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ). Задайте большую матрицу с помощью Mass опция odeset.
[ также использует настройки интегрирования, заданные t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0,options)options, то, которое является аргументом, создало использование odeset функция. Например, используйте AbsTol и RelTol опции, чтобы задать допуски абсолютной и относительной погрешности или Mass опция, чтобы обеспечить большую матрицу.
[ дополнительно находит, где функции (t, y), вызвал функции события, являются нулем. В выходе, t,y,te,ye,ie]
= ode23(odefun,tspan,y0,options)te время события, ye решение во время события и ie индекс инициированного события.
Для каждой функции события задайте, должно ли интегрирование завершить работу в нуле и имеет ли направление нулевого пересечения значение. Сделайте это путем установки 'Events' свойство к функции, такой как myEventFcn или @myEventFcn, и создание соответствующей функции: Значение, isterminal, direction] = myEventFcnTY). Для получения дополнительной информации смотрите Местоположение События ОДУ.
sol = ode23(___)deval оценивать решение в любой точке на интервале [t0 tf]. Можно использовать любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах.
Простые ОДУ, которые имеют компонент единого решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принять два входных параметров (t,y) даже если одни из входных параметров не используются.
Решите ОДУ
Используйте временной интервал [0,5] и начальное условие y0 = 0.
tspan = [0 5]; y0 = 0; [t,y] = ode23(@(t,y) 2*t, tspan, y0);
Постройте решение.
plot(t,y,'-o')
Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка
где
скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем создания замены
. Получившаяся система ОДУ первого порядка
Файл функции vdp1.m представляет использование уравнения Ван дер Поля
. Переменные
и
являются записями y(1) и y(2) из двухэлементного вектора, dydt.
function dydt = vdp1(t,y) %VDP1 Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1 % % See also ODE113, ODE23, ODE45. % Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine % Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc. dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
Решите ОДУ с помощью ode23 функция на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Получившийся выход является вектор-столбцом моментов времени t и массив решения y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует, и второй столбец к.
[t,y] = ode23(@vdp1,[0 20],[2; 0]);
Постройте решения для и против t.
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o') title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE23'); xlabel('Time t'); ylabel('Solution y'); legend('y_1','y_2')
ode23 только работает с функциями, которые используют два входных параметра, t и y. Однако можно передать в дополнительных параметрах путем определения их вне функции и передачи их в том, когда вы задаете указатель на функцию.
Решите ОДУ
При перезаписи уравнения, когда уступает система первого порядка
odefcn.m представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметра: tYA, и B.
function dydt = odefcn(t,y,A,B)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);
Решите ОДУ с помощью ode23. Задайте указатель на функцию, таким образом, что он передает в предопределенных значениях для A и B к odefcn.
A = 1; B = 2; tspan = [0 5]; y0 = [0 0.01]; [t,y] = ode23(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);
Постройте график результатов.
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')
По сравнению с ode45, ode23 решатель лучше в решении задач с допусками грубой ошибки.
Сравните производительность ode45 и ode23 путем решения умеренно жесткого ОДУ
для . Это ОДУ является тестовым уравнением, которое становится все больше жестким как увеличения. Используйте odeset включать отображение статистики решателя.
opts = odeset('Stats','on'); tspan = [0 2]; y0 = 1; lambda = 1e3; subplot(1,2,1) tic, ode45(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts), toc
615 successful steps 35 failed attempts 3901 function evaluations Elapsed time is 1.112525 seconds.
title('ode45')
subplot(1,2,2)
tic, ode23(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts), toc822 successful steps 2 failed attempts 2473 function evaluations Elapsed time is 0.659954 seconds.
title('ode23')
Для этой умеренно жесткой проблемы, ode23 выполняется немного быстрее, чем ode45 и также имеет меньше не пройдено шагов. Размеры шага взяты ode45 и ode23 поскольку эта проблема ограничивается требованиями устойчивости уравнения, а не точностью. Начиная с шагов, сделанных ode23 являются более дешевыми, чем с ode45, ode23 решатель выполняется более быстрый даже при том, что он делает больше шагов.
ode23 реализация явного Рунге-Кутта (2,3) пара Богацков и Шемпина. Это может быть более эффективно, чем ode45 в грубых допусках и в присутствии умеренной жесткости. ode23 одношаговый решатель [1], [2].
[1] Богацки, P. и Л. Ф. Шемпин, “3 (2) пара формул Рунге-Кутта”, Прикладная Математика. Буквы, Издание 2, 1989, стр 321–325.
[2] Шемпин, L. F. и М. В. Рейчелт, “Пакет ODE MATLAB”, SIAM Journal на Научных вычислениях, Издании 18, 1997, стр 1–22.