Решите ограниченную нелинейную оптимизацию, основанную на проблеме
В этом примере показано, как найти минимум нелинейной целевой функции с нелинейным ограничением при помощи подхода, основанного на проблеме. Для видео, показывающего решение подобной проблемы, смотрите Основанный на проблеме Нелинейный Progamming.
Чтобы найти минимальное значение нелинейной целевой функции с помощью подхода, основанного на проблеме, сначала запишите целевую функцию как файл или анонимную функцию. Целевая функция для этого примера
type objfunxfunction f = objfunx(x,y) f = exp(x).*(4*x.^2 + 2*y.^2 + 4*x.*y + 2*y - 1); end
Создайте переменные x задачи оптимизации и y.
x = optimvar('x'); y = optimvar('y');
Преобразуйте целевую функцию в выражение оптимизации при помощи fcn2optimexpr. Передайте x и y переменные в fcn2optimexpr вызовите, чтобы указать, какая переменная оптимизации соответствует каждому objfunx входной параметр.
obj = fcn2optimexpr(@objfunx,x,y);
Создайте задачу оптимизации с obj как целевая функция.
prob = optimproblem('Objective',obj);Создайте нелинейное ограничение, что решение находится в наклоненном эллипсе, заданном как
Вы не должны создавать и преобразовывать ограничение как отдельную функцию, потому что это - рациональная функция переменных оптимизации.
TiltEllipse = x.*y/2 + (x+2).^2 + (y-2).^2/2 <= 2;
Включайте ограничение в проблему.
prob.Constraints.constr = TiltEllipse;
Создайте структуру, представляющую начальную точку как x = –3, y = 3.
x0.x = -3; x0.y = 3;
Рассмотрите проблему.
show(prob)
OptimizationProblem :
Solve for:
x, y
minimize :
objfunx(x, y)
subject to constr:
((((x .* y) ./ 2) + (x + 2).^2) + ((y - 2).^2 ./ 2)) <= 2
Решите задачу.
[sol,fval] = solve(prob,x0)
Solving problem using fmincon. Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
sol = struct with fields:
x: -5.2813
y: 4.6815
fval = 0.3299
Попробуйте различную стартовую точку.
x0.x = -1; x0.y = 1; [sol2,fval2] = solve(prob,x0)
Solving problem using fmincon. Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
sol2 = struct with fields:
x: -0.8210
y: 0.6696
fval2 = 0.7626
Постройте эллипс, контуры целевой функции и эти два решения.
f = @objfunx; g = @(x,y) x.*y/2+(x+2).^2+(y-2).^2/2-2; rnge = [-5.5 -0.25 -0.25 7]; fimplicit(g,'k-') axis(rnge); hold on fcontour(f,rnge,'LevelList',logspace(-1,1)) plot(sol.x,sol.y,'ro','LineWidth',2) plot(sol2.x,sol2.y,'ko','LineWidth',2) legend('Constraint','f Contours','Global Solution','Local Solution','Location','northeast'); hold off
Решения находятся на нелинейной границе ограничений. График контура показывает, что это единственные локальные минимумы. График также показывает, что существует стационарная точка рядом [–2,3/2], и локальные максимумы около [–2,0] и [–1,4].