Соберите матрицы конечного элемента
Создайте модель PDE для уравнения Пуассона на L-образной мембране с нулем граничные условия Дирихле.
model = createpde(1); geometryFromEdges(model,@lshapeg); specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',1,'a',0,'f',1); applyBoundaryCondition(model,'edge',1:model.Geometry.NumEdges,'u',0);
Сгенерируйте mesh и получите матрицы конечного элемента по умолчанию для проблемы и mesh.
generateMesh(model,'Hmax',0.2);
FEM = assembleFEMatrices(model)FEM = struct with fields:
K: [401x401 double]
A: [401x401 double]
F: [401x1 double]
Q: [401x401 double]
G: [401x1 double]
H: [80x401 double]
R: [80x1 double]
M: [401x401 double]
nullspace МетодСоздайте модель PDE для уравнения Пуассона на L-образной мембране с нулем граничные условия Дирихле.
model = createpde(1); geometryFromEdges(model,@lshapeg); specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',1,'a',0,'f',1); applyBoundaryCondition(model,'edge',1:model.Geometry.NumEdges,'u',0);
Сгенерируйте mesh и получите nullspace матрицы конечного элемента для проблемы и mesh.
generateMesh(model,'Hmax',0.2); FEM = assembleFEMatrices(model,'nullspace')
FEM = struct with fields:
Kc: [321x321 double]
Fc: [321x1 double]
B: [401x321 double]
ud: [401x1 double]
M: [321x321 double]
Получите решение УЧП.
u = FEM.B*(FEM.Kc\FEM.Fc) + FEM.ud;
Сравните этот результат с решением, данным solvepde. Эти два решения идентичны.
u1 = solvepde(model); norm(u - u1.NodalSolution)
ans = 0
Соберите промежуточные матрицы конечного элемента для тепловой проблемы.
Создайте переходную тепловую модель и включайте геометрию встроенной функции squareg.
thermalmodel = createpde('thermal','transient'); geometryFromEdges(thermalmodel,@squareg);
Постройте геометрию с метками ребра.
pdegplot(thermalmodel,'EdgeLabels','on') xlim([-1.1 1.1]) ylim([-1.1 1.1])
Задайте теплопроводность, массовую плотность и удельную теплоемкость материала.
thermalProperties(thermalmodel,'ThermalConductivity',0.2, ... 'MassDensity',2.7*10^(-6), ... 'SpecificHeat',920);
Установите граничные и начальные условия.
thermalBC(thermalmodel,'Edge',1:4,'Temperature',100); thermalIC(thermalmodel,0,'Face',1);
Сгенерируйте mesh и получите матрицы конечного элемента по умолчанию.
generateMesh(thermalmodel); FEM = assembleFEMatrices(thermalmodel)
FEM = struct with fields:
K: [1541x1541 double]
A: [1541x1541 double]
F: [1541x1 double]
Q: [1541x1541 double]
G: [1541x1 double]
H: [144x1541 double]
R: [144x1 double]
M: [1541x1541 double]
Большая матрица M является ненулевым, когда модель является зависящей от времени. При помощи этой матрицы можно решить модель с Рейли, ослабляющим. Для примера смотрите Динамику Ослабленного Консольного Луча.
Для тепловой модели, m и a коэффициенты являются нулями. Теплопроводность сопоставляет с c коэффициент. Продукт массовой плотности и удельной теплоемкости сопоставляет с d коэффициент. Внутренний источник тепла сопоставляет с f коэффициент.
Для структурной модели, a коэффициент является нулем. Модуль Молодежи и отношение Пуассона сопоставляют с c коэффициент. Массовая плотность сопоставляет с m коэффициент. Загрузки тела сопоставляют с f коэффициент. Когда вы задаете модель затухания при помощи Рейли, ослабляющего параметры Alpha и Beta, дискретизированный ослабляющий матричный C вычисляется при помощи большой матрицы M и матрица жесткости K как C = Alpha*M+Beta*K.
Полные матрицы конечного элемента и векторы следующие:
K матрица жесткости, интеграл c коэффициент против основных функций.
M большая матрица, интеграл m или d коэффициент против основных функций.
A интеграл a коэффициент против основных функций.
F интеграл f коэффициент против основных функций.
Q интеграл q граничное условие против основных функций.
G интеграл g граничное условие против основных функций.
H и R матрицы прибывают непосредственно из условий Дирихле и mesh.
Учитывая эти матрицы, 'nullspace' метод генерирует объединенные матрицы конечного элемента [KcФК B, ud] можно следующим образом. Объединенной матрицей жесткости является для уменьшаемой линейной системы Kc = K + M + Q. Соответствующим объединенным вектором загрузки является Fc = F + G. B матрица охватывает пустой пробел столбцов H (матрица условия Дирихле представление hu = r). R вектор представляет условия Дирихле в Hu = R. ud вектор представляет решения для граничного условия для условий Дирихле.
От 'nullspace' матрицы, можно вычислить решение u как
u = B*(Kc\Fc) + ud.
Внутренне, для независимых от времени проблем, solvepde использует 'nullspace' метод, и вычисляет решения с помощью u = B*(Kc\Fc) + ud.
'stiff-spring' метод возвращает матричный Ks и векторный Fs это вместе представляет другой тип объединенных матриц конечного элемента. Приближенное решение u u = Ks\Fs.
По сравнению с 'nullspace' метод, 'stiff-spring' метод генерирует матрицы более быстро, но обычно дает менее точные решения.
PDEModel | StructuralModel | ThermalModel | solve | solvepde