Линейное матричное неравенство (LMI) является любым ограничением формы
| A (x) : = A 0 + x 1A1 + ... + xNAN < 0 | (1) |
где
x = (x1..., xN), вектор неизвестных скаляров (переменные решения или оптимизации)
A0..., AN дают симметричные матрицы
<0 обозначает “определенное отрицание”, т.е. самое большое собственное значение (x) отрицательно
Обратите внимание на то, что ограничения (x)> 0 и (x) <B (x) являются особыми случаями уравнения 1, поскольку они могут быть переписаны как –A (x) <0 и (x) – B (x) <0, соответственно.
LMI уравнения 1 является выпуклым ограничением на x, поскольку (y) <0 и (z) <0 подразумевают это . В результате
Его набор решения, названный выполнимым набором, является выпуклым подмножеством R N
Нахождение решения x уравнения 1, если таковые имеются, является выпуклой задачей оптимизации.
Выпуклость имеет важное последствие: даже при том, что уравнение 1 не имеет никакого аналитического решения в целом, оно может быть решено численно с гарантиями нахождения решения, когда каждый существует. Обратите внимание на то, что система ограничений LMI может рассматриваться как один LMI с тех пор
эквивалентно
где diag (A1(x)..., AK (x)), обозначает блочно диагональную матрицу с
A1(x)..., AK (x) на его диагонали. Следовательно несколько ограничений LMI могут быть наложены на вектор переменных решения x, не уничтожая выпуклость.
В большинстве приложений управления LMIs естественно не возникают в канонической форме уравнения 1, а скорее в форме
L (X1..., Xn) <R (X1..., Xn)
где L(.) и R(.) являются аффинными функциями некоторых структурированных матричных переменных X1..., Xn. Простым примером является неравенство Ляпунова
| ATX + XA < 0 | (2) |
где неизвестной X является симметрическая матрица. Определение x1..., xN как независимые скалярные записи X, эта LMI могла быть переписана в форме уравнения 1. Все же это более удобно и эффективно описать его в своем естественном уравнении формы 2, который является подходом, проявленным в LMI Lab.