Документация

Введение в модели Смешанных Эффектов

В статистике effect - что-либо, что влияет на значение переменной отклика при конкретной установке переменных предикторов. Эффекты переводятся в параметры модели. В линейных моделях эффекты становятся коэффициентами, представляя пропорциональные вклады условий модели. В нелинейных моделях эффекты часто имеют определенные физические интерпретации и появляются в более общих нелинейных комбинациях.

Fixed effects представляет параметры населения, принятые, чтобы быть тем же каждым разом, когда данные собраны. Оценка фиксированных эффектов является традиционной областью моделирования регрессии. Random effects, для сравнения, является демонстрационно-зависимыми случайными переменными. В моделировании должны быть заданы случайное действие эффектов как дополнительные остаточные члены, и их распределения и ковариации.

Например, рассмотрите модель устранения препарата от кровотока. Модель использует время t в качестве предиктора и концентрации препарата C как ответ. Нелинейный термин модели C _0e–r^t комбинирует параметры C ₀ и r, представление, соответственно, начальная концентрация и уровень устранения. Если данные собраны через несколько индивидуумов, разумно принять, что уровень устранения является случайной переменной r _i в зависимости от отдельного i, варьирующегося вокруг среднего значения населения $$\overline{r}$$. Термин C _0e–r^t становится

где β = $$\overline{r}$$ фиксированный эффект и b _i = $$r_i-\overline{r}$$ случайный эффект.

Случайные эффекты полезны, когда данные попадают в естественные группы. В модели устранения препарата группы являются просто индивидуумами при исследовании. Более сложные модели могут сгруппировать данные возрастом индивидуума, весом, диетой, и т.д. Несмотря на то, что группы не являются особым вниманием исследования, добавляя, что случайные эффекты к модели расширяют надежность выводов вне определенной выборки индивидуумов.

Счет Mixed-effects models и зафиксированные и случайные эффекты. Как со всеми моделями регрессии, их цель состоит в том, чтобы описать переменную отклика как функцию переменных предикторов. Модели смешанных эффектов, однако, распознают корреляции в демонстрационных подгруппах. Таким образом они обеспечивают компромисс между игнорированием групп данных полностью и подбором кривой каждой группе с отдельной моделью.

Иерархия модели смешанных эффектов

Предположим, что данные для нелинейной модели регрессии попадают в один из m отличные группы i = 1..., m. Чтобы составлять группы в модели, напишите ответу j в группе i как:

y _{i, j} является ответом, x _{i j}, является вектором предикторов, φ, является вектором параметров модели и ε _{i, j} является ошибкой измерения или процесса. j индекса лежит в диапазоне от 1 до n _i, где n _i является количеством наблюдений в группе i. Функциональный f задает форму модели. Часто, x _{i j} является просто временем наблюдения t _{i j}. Ошибки обычно принимаются, чтобы быть независимыми и тождественно, нормально распределенными, с постоянным отклонением.

Оценки параметров в φ описывают население, принимая, что те оценки являются тем же самым для всех групп. Если, однако, оценки варьируются группой, модель становится

В модели смешанных эффектов φ _i может быть комбинацией фиксированного и случайного эффекта:

Случайные эффекты b _i обычно описываются как многомерные нормально распределенный со средним нулем и ковариацией Ψ. Оценка фиксированных эффектов, β и ковариация случайных эффектов Ψ предоставляют описание населения, которое не принимает параметры φ_{, i} является тем же самым через группы. При оценке случайных эффектов b _i также дает описание определенных групп в данных.

Параметры модели не должны быть идентифицированы с отдельными эффектами. В общем случае design matrices A и B используется, чтобы идентифицировать параметры с линейными комбинациями фиксированных и случайных эффектов:

Если матрицы проекта отличаются среди групп, модель становится

Если матрицы проекта также отличаются среди наблюдений, модель становится

Некоторые специфичные для группы предикторы в x _{i j} не могут изменить с наблюдением j. Вызывая тех v _i, модель становится

Определение моделей Смешанных Эффектов

Предположим, что данные для нелинейной модели регрессии попадают в один из m отличные группы i = 1..., m. (А именно, предположите, что группы не вкладываются.), Чтобы задать общую нелинейную модель смешанных эффектов для этих данных:

Модель:

Эта формулировка нелинейной модели смешанных эффектов использует следующее обозначение:

Например, рассмотрите модель устранения препарата от кровотока. Модель включает две перекрывающихся фазы:

Для данных по нескольким индивидуумам i модель

где y _{i j} является наблюдаемой концентрацией в отдельном i во время t _{i j}. Модель позволяет в течение различного времени выборки и различных количеств наблюдений для различных индивидуумов.

Уровни устранения r _{p i} и r _{q i} должны быть положительны быть физически значимыми. Осуществите это путем представления логарифмических уровней R _{p i} = журнал (r _{p i}) и R _{q i} = журнал (r _{q i}) и перепараметризации модели:

Выбор, какие параметры к модели со случайными эффектами являются важным соображением при создавании модели смешанных эффектов. Один метод должен добавить случайные эффекты во все параметры и оценки использования их отклонений, чтобы определить их значение в модели. Альтернатива должна подбирать модель отдельно каждой группе, без случайных эффектов, и посмотреть на изменение оценок параметра. Если оценка значительно различается через группы, или если доверительные интервалы для каждой группы имеют минимальное перекрытие, параметр является хорошим кандидатом на случайный эффект.

Чтобы ввести зафиксированные эффекты β и случайные эффекты b _i для всех параметров модели, повторно выразите модель можно следующим образом:

В обозначении общей модели:

где n _i является количеством наблюдений за отдельным i. В этом случае матрицы проекта A _i и B _i являются, по крайней мере, первоначально, единичными матрицами 4 на 4. Матрицы проекта могут быть изменены, по мере необходимости, чтобы ввести взвешивание отдельных эффектов или зависимость времени.

Подбирать модель и оценка ковариационной матрицы Ψ часто приводят к дальнейшим улучшениям. Относительно небольшая оценка для отклонения случайного эффекта предполагает, что это может быть удалено из модели. Аналогично, относительно небольшие оценки для ковариаций среди определенных случайных эффектов предполагает, что полная ковариационная матрица является ненужной. Поскольку случайные эффекты не наблюдаются, Ψ должен быть оценен косвенно. Определение диагонального или диагонального блоком шаблона ковариации для Ψ может улучшить сходимость и КПД алгоритма подбора.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ функционирует nlmefit и nlmefitsa подбирайте общую нелинейную модель смешанных эффектов к данным, оценивая фиксированные и случайные эффекты. Функции также оценивают ковариационную матрицу Ψ для случайных эффектов. Дополнительные диагностические выходные параметры позволяют вам оценивать компромиссы между количеством параметров модели и качеством подгонки.

Определение ковариационных моделей

Если модель в Определении Моделей Смешанных Эффектов принимает зависимый группой ковариант, такой как вес (w), модель становится:

Таким образом, параметр φ _i для любого индивидуума в iгруппа th:

Чтобы задать ковариационную модель, используйте 'FEGroupDesign' опция.

'FEGroupDesign' p-by-q-by-m массив, задающий различный p-by-q фиксированные эффекты проектируют матрицу для каждого m группы. Используя предыдущий пример, массив напоминает следующее:

Выбор nlmefit или nlmefitsa

Statistics and Machine Learning Toolbox обеспечивает две функции, nlmefit и nlmefitsa для того, чтобы подбирать нелинейные модели смешанных эффектов. Каждая функция предусматривает различные возможности, которые могут помочь вам решить, чтобы использовать.

• Методы приближения

• Параметры, характерные для nlmefitsa

• Модель и требования к данным

Используя выходные функции с моделями Смешанных Эффектов

Outputfcn поле options структура задает одну или несколько функций что вызовы решателя после каждой итерации. Как правило, вы можете использовать выходную функцию, чтобы построить точки в каждой итерации или отобразить оптимизационные величины из алгоритма. Настраивать выходную функцию:

Для примера выходной функции смотрите Демонстрационную Выходную функцию.

stop = outfun(beta,status,state)

switch state
    case 'iter'
          % Make updates to plot or guis as needed
    case 'init'
          % Setup for plots or guis
    case 'done'
          % Cleanup of plots, guis, or final plot
otherwise
end

stop = outfun(beta,status,state)
stop = false;
% Check if loglikelihood is more than 132.
if status.fval > -132
    stop = true;
end

function retval = stop_outfcn(beta,str,status)
persistent h stop;
if isequal(str.inner.state,'none')
    switch(status)
        case 'init'
            % Initialize dialog
            stop = false;
            h = msgbox('Press STOP to cancel calculations.',...
                'NLMEFIT: Iteration 0 ');
            button = findobj(h,'type','uicontrol');
            set(button,'String','STOP','Callback',@stopper)
            pos = get(h,'Position');
            pos(3) = 1.1 * pos(3);
            set(h,'Position',pos)
            drawnow
        case 'iter'
            % Display iteration number in the dialog title
            set(h,'Name',sprintf('NLMEFIT: Iteration %d',...
                str.iteration))
            drawnow;
        case 'done'
            % Delete dialog
            delete(h);
    end
end
if stop
    % Stop if the dialog button has been pressed
    delete(h)
end
retval = stop;
 
    function stopper(varargin)
        % Set flag to stop when button is pressed
        stop = true;
        disp('Calculation stopped.')
    end
end

opt = statset('OutputFcn', @nlmefitoutputfcn, …)
beta = nlmefit(…, 'Options', opt, …)

opt = statset('OutputFcn', [], …)
beta = nlmefitsa(…, 'Options', opt, …)