В этом примере показано, как выполнить взвешенный анализ основных компонентов и интерпретировать результаты.
Загрузите выборочные данные. Данные включают оценки для 9 различных индикаторов качества жизни в 329 американских городах. Это климат, корпус, здоровье, преступление, транспортировка, образование, искусства, воссоздание и экономика. Для каждой категории более высокая оценка лучше. Например, более высокая оценка для преступления означает более низкий уровень преступности.
Отобразите categories
переменная.
load cities
categories
categories = climate housing health crime transportation education arts recreation economics
Всего, cities
набор данных содержит три переменные:
categories
, символьная матрица, содержащая имена индексов
names
, символьная матрица, содержащая эти 329 названий города
ratings
, матрица данных с 329 строками и 9 столбцами
Сделайте коробчатую диаграмму, чтобы посмотреть на распределение ratings
данные.
figure() boxplot(ratings,'Orientation','horizontal','Labels',categories)
Существует больше изменчивости в оценках искусств и корпуса, чем в оценках преступления и климата.
Проверяйте попарную корреляцию между переменными.
C = corr(ratings,ratings);
Корреляция среди некоторых переменных является целых 0.85. Анализ основных компонентов создает независимые новые переменные, которые являются линейными комбинациями исходных переменных.
Когда все переменные находятся в том же модуле, уместно вычислить основные компоненты для необработанных данных. Когда переменные находятся в различных модулях, или различие в отклонении различных столбцов является существенным (как в этом случае), масштабирование данных или использование весов часто предпочтительны.
Выполните анализ главных компонентов при помощи обратных отклонений оценок как веса.
w = 1./var(ratings); [wcoeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(ratings,... 'VariableWeights',w);
Или эквивалентно:
[wcoeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(ratings,... 'VariableWeights','variance');
Следующие разделы объясняют пять выходных параметров pca
.
Первый выход, wcoeff
, содержит коэффициенты основных компонентов.
Первые три вектора коэффициентов основного компонента:
c3 = wcoeff(:,1:3)
c3 = wcoeff(:,1:3) c3 = 1.0e+03 * 0.0249 -0.0263 -0.0834 0.8504 -0.5978 -0.4965 0.4616 0.3004 -0.0073 0.1005 -0.1269 0.0661 0.5096 0.2606 0.2124 0.0883 0.1551 0.0737 2.1496 0.9043 -0.1229 0.2649 -0.3106 -0.0411 0.1469 -0.5111 0.6586
Эти коэффициенты взвешиваются, следовательно матрица коэффициентов не ортонормирована.
Преобразуйте коэффициенты так, чтобы они были ортонормированы.
coefforth = inv(diag(std(ratings)))*wcoeff;
Обратите внимание на то, что, если вы используете вектор весов, w
, при проведении pca
затем
coefforth = diag(sqrt(w))*wcoeff;
Преобразованные коэффициенты теперь ортонормированы.
I = coefforth'*coefforth; I(1:3,1:3)
ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
Второй выход, score
, содержит координаты исходных данных в новой системе координат, заданной основными компонентами. score
матрица одного размера с матрицей входных данных. Можно также получить баллы компонента с помощью ортонормированных коэффициентов и стандартизированных оценок можно следующим образом.
cscores = zscore(ratings)*coefforth;
cscores
и score
идентичные матрицы.
Создайте график первых двух столбцов score
.
figure() plot(score(:,1),score(:,2),'+') xlabel('1st Principal Component') ylabel('2nd Principal Component')
Этот график показывает и масштабированные данные об оценках в центре, спроектированные на первые два основных компонента. pca
вычисляет баллы, чтобы иметь средний нуль.
Отметьте отдаленные точки в правильной половине графика. Можно графически идентифицировать эти точки можно следующим образом.
gname
Переместите свой курсор через график и нажатие кнопки однажды около самых правых семи точек. Это помечает точки их номерами строк как в следующем рисунке.
После маркировки точек нажмите Return.
Создайте индексную переменную, содержащую номера строк всех городов, которые вы выбрали, и получите имена городов.
metro = [43 65 179 213 234 270 314]; names(metro,:)
ans = Boston, MA Chicago, IL Los Angeles, Long Beach, CA New York, NY Philadelphia, PA-NJ San Francisco, CA Washington, DC-MD-VA
Эти помеченные города являются некоторыми самыми большими центрами сосредоточения населения в Соединенных Штатах, и они кажутся более экстремальными, чем остаток от данных.
Третий выход, latent
, вектор, содержащий отклонение, объясненное соответствующим основным компонентом. Каждый столбец score
имеет демонстрационное отклонение, равное соответствующей строке latent
.
latent
latent = 3.4083 1.2140 1.1415 0.9209 0.7533 0.6306 0.4930 0.3180 0.1204
Пятый выход, explained
, вектор, содержащий отклонение процента, объясненное соответствующим основным компонентом.
explained
explained = 37.8699 13.4886 12.6831 10.2324 8.3698 7.0062 5.4783 3.5338 1.3378
Сделайте график каменистой осыпи изменчивости процента объясненным каждым основным компонентом.
figure() pareto(explained) xlabel('Principal Component') ylabel('Variance Explained (%)')
Этот график каменистой осыпи только показывает первые семь (вместо общих девяти) компоненты, которые объясняют 95% общего отклонения. Единственный ясный перерыв в количестве отклонения, составляемого каждым компонентом, между первыми и вторыми компонентами. Однако первый компонент отдельно объясняет меньше чем 40% отклонения, таким образом, больше компонентов может быть необходимо. Вы видите, что первые три основных компонента объясняют примерно две трети общей изменчивости в стандартизированных оценках, так, чтобы мог быть разумный способ уменьшать размерности.
Последний выход от pca
tsquared
, который является T2 Хотеллинга, статистической мерой многомерного расстояния каждого наблюдения от центра набора данных. Это - аналитический способ найти наиболее экстремальные точки в данных.
[st2,index] = sort(tsquared,'descend'); % sort in descending order extreme = index(1); names(extreme,:)
ans = New York, NY
Оценки для Нью-Йорка являются самыми далекими из среднего американского города.
Визуализируйте и ортонормированные коэффициенты основного компонента для каждой переменной и музыку основного компонента к каждому наблюдению в одном графике.
biplot(coefforth(:,1:2),'Scores',score(:,1:2),'Varlabels',categories); axis([-.26 0.6 -.51 .51]);
Все девять переменных представлены в этом bi-графике вектора, и направление и длина вектора указывают, как каждая переменная способствует этим двум основным компонентам в графике. Например, первый основной компонент, на горизонтальной оси, имеет положительные коэффициенты для всех девяти переменных. Именно поэтому эти девять векторов направлены в правильную половину графика. Самые большие коэффициенты в первом основном компоненте являются третьими и седьмыми элементами, соответствуя переменным health
и arts
.
Второй основной компонент, на вертикальной оси, имеет положительные коэффициенты для переменных education
, health
, arts
, и transportation
, и отрицательные коэффициенты для остающихся пяти переменных. Это указывает, что второй компонент различает города, которые имеют высокие значения для первого набора переменных и низко для второго, и города, которые имеют противоположное.
Переменные метки в этом рисунке несколько переполнены. Можно или исключить VarLabels
аргумент пары "имя-значение" при создании графика или выбора и перетаскивает некоторые метки к лучшим позициям с помощью Графического инструмента Редактирования от панели инструментов окна рисунка.
Этот 2D bi-график также включает точку для каждого из этих 329 наблюдений с координатами, указывающими на счет каждого наблюдения для этих двух основных компонентов в графике. Например, точки около левого края этого графика имеют самую низкую музыку к первому основному компоненту. Точки масштабируются относительно максимального значения счета и максимальной содействующей длины, поэтому только их относительные местоположения могут быть определены из графика.
Можно идентифицировать элементы в графике путем выбора Tools> Data Cursor в окне рисунка. Путем нажатия на переменную (вектор) можно считать переменную метку и коэффициенты для каждого основного компонента. Путем нажатия на наблюдение (точка) можно считать имя наблюдения и музыку к каждому основному компоненту. Можно задать 'Obslabels',names
показать наблюдение называет вместо чисел наблюдения в отображении Data Cursor.
Можно также сделать bi-график в трех измерениях.
figure() biplot(coefforth(:,1:3),'Scores',score(:,1:3),'Obslabels',names); axis([-.26 0.8 -.51 .51 -.61 .81]); view([30 40]);
Этот график полезен, если первые две основных координаты не объясняют достаточно отклонения в ваших данных. Можно также вращать фигуру, чтобы видеть его от различных углов путем выбора theTools> Rotate 3D
.
biplot
| boxplot
| pca
| pcacov
| pcares
| ppca