pca
Анализ главных компонентов необработанных данных
Синтаксис
Описание
coeff = pca(X)X. Строки X соответствуйте наблюдениям, и столбцы соответствуют переменным. Матрицей коэффициентов является p-by-p. Каждый столбец coeff содержит коэффициенты для одного основного компонента, и столбцы имеют в порядке убывания отклонение компонента. По умолчанию, pca сосредотачивает данные и использует алгоритм сингулярного разложения (SVD).
coeff = pca(X,Name,Value)Name,Value парные аргументы.
Например, можно задать количество основных компонентов pca возвращается или алгоритм кроме SVD, чтобы использовать.
[ также возвращает баллы основного компонента в coeff,score,latent]
= pca(___)score и отклонения основного компонента в latentМожно комбинировать с любым синтаксом из перечисленных выше.
Баллы основного компонента являются представлениями X на пробеле основного компонента. Строки score соответствуйте наблюдениям, и столбцы соответствуют компонентам.
Отклонения основного компонента являются собственными значениями ковариационной матрицы X.
Примеры
Основные компоненты набора данных
Загрузите набор выборочных данных.
load haldДанные о компонентах имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Найдите основные компоненты для данных о компонентах.
coeff = pca(ingredients)
coeff = 4×4
-0.0678 -0.6460 0.5673 0.5062
-0.6785 -0.0200 -0.5440 0.4933
0.0290 0.7553 0.4036 0.5156
0.7309 -0.1085 -0.4684 0.4844
Строки coeff содержите коэффициенты для четырех переменных компонента, и его столбцы соответствуют четырем основным компонентам.
PCA в присутствии Недостающих данных
Найдите коэффициенты основного компонента, когда будут отсутствующие значения в наборе данных.
Загрузите набор выборочных данных.
load imports-85Матрица данных X имеет 13 непрерывных переменных в столбцах 3 - 15: колесная база, длина, ширина, высота, собственный вес, объем двигателя, скука, диапазон, коэффициент сжатия, лошадиная сила, пиковый об/мин, город-mpg и магистраль-mpg. Переменные перенесли, и диапазон пропускают четыре значения в строках 56 - 59, и лошадиная сила переменных и пиковый об/мин пропускают два значения в строках 131 и 132.
Выполните анализ главных компонентов.
coeff = pca(X(:,3:15));
По умолчанию, pca выполняет действие, заданное 'Rows','complete' аргумент пары "имя-значение". Эта опция удаляет наблюдения с NaN значения перед вычислением. Строки NaNs повторно вставляются в score и tsquared в соответствующих местоположениях, а именно, строки 56 - 59, 131, и 132.
Используйте 'pairwise' выполнять анализ главных компонентов.
coeff = pca(X(:,3:15),'Rows','pairwise');
В этом случае, pca вычисляет (i, j) элемент ковариационной матрицы с помощью строк без NaN значения в столбцах i или j X. Обратите внимание на то, что получившаяся ковариационная матрица не может быть положительна определенный. Эта опция применяется когда алгоритм pca использование является разложением собственного значения. Когда вы не задаете алгоритм, как в этом примере, pca наборы это к 'eig'. Если вы требуете 'svd' как алгоритм, с 'pairwise' опция, затем pca возвращает предупреждающее сообщение, устанавливает алгоритм на 'eig' и продолжается.
Если вы используете 'Rows','all' аргумент пары "имя-значение", pca завершает работу, потому что эта опция принимает, что в наборе данных нет никаких отсутствующих значений.
coeff = pca(X(:,3:15),'Rows','all');
Error using pca (line 180) Raw data contains NaN missing value while 'Rows' option is set to 'all'. Consider using 'complete' or pairwise' option instead.
Взвешенный PCA
Используйте обратные переменные отклонения в качестве весов при выполнении анализа основных компонентов.
Загрузите набор выборочных данных.
load haldВыполните анализ главных компонентов с помощью инверсии отклонений компонентов как переменные веса.
[wcoeff,~,latent,~,explained] = pca(ingredients,... 'VariableWeights','variance')
wcoeff = 4×4
-2.7998 2.9940 -3.9736 1.4180
-8.7743 -6.4411 4.8927 9.9863
2.5240 -3.8749 -4.0845 1.7196
9.1714 7.5529 3.2710 11.3273
latent = 4×1
2.2357
1.5761
0.1866
0.0016
explained = 4×1
55.8926
39.4017
4.6652
0.0406
Обратите внимание на то, что матрица коэффициентов, wcoeff, не ортонормировано.
Вычислите ортонормированную матрицу коэффициентов.
coefforth = inv(diag(std(ingredients)))* wcoeff
coefforth = 4×4
-0.4760 0.5090 -0.6755 0.2411
-0.5639 -0.4139 0.3144 0.6418
0.3941 -0.6050 -0.6377 0.2685
0.5479 0.4512 0.1954 0.6767
Проверяйте ортонормальность новой матрицы коэффициентов, coefforth.
coefforth*coefforth'
ans = 4×4
1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000
0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000
0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
PCA Используя ALS для Пропавших без вести данных
Найдите основные компоненты с помощью алгоритма переменных наименьших квадратов (ALS), когда будут отсутствующие значения в данных.
Загрузите выборочные данные.
load haldДанные о компонентах имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Выполните анализ главных компонентов с помощью алгоритма ALS и отобразите коэффициенты компонента.
[coeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(ingredients); coeff
coeff = 4×4
-0.0678 -0.6460 0.5673 0.5062
-0.6785 -0.0200 -0.5440 0.4933
0.0290 0.7553 0.4036 0.5156
0.7309 -0.1085 -0.4684 0.4844
Введите отсутствующие значения случайным образом.
y = ingredients; rng('default'); % for reproducibility ix = random('unif',0,1,size(y))<0.30; y(ix) = NaN
y = 13×4
7 26 6 NaN
1 29 15 52
NaN NaN 8 20
11 31 NaN 47
7 52 6 33
NaN 55 NaN NaN
NaN 71 NaN 6
1 31 NaN 44
2 NaN NaN 22
21 47 4 26
⋮
Приблизительно 30% данных имеют отсутствующие значения теперь, обозначенный NaN.
Выполните анализ главных компонентов с помощью алгоритма ALS и отобразите коэффициенты компонента.
[coeff1,score1,latent,tsquared,explained,mu1] = pca(y,... 'algorithm','als'); coeff1
coeff1 = 4×4
-0.0362 0.8215 -0.5252 0.2190
-0.6831 -0.0998 0.1828 0.6999
0.0169 0.5575 0.8215 -0.1185
0.7292 -0.0657 0.1261 0.6694
Отобразите предполагаемое среднее значение.
mu1
mu1 = 1×4
8.9956 47.9088 9.0451 28.5515
Восстановите наблюдаемые данные.
t = score1*coeff1' + repmat(mu1,13,1)
t = 13×4
7.0000 26.0000 6.0000 51.5250
1.0000 29.0000 15.0000 52.0000
10.7819 53.0230 8.0000 20.0000
11.0000 31.0000 13.5500 47.0000
7.0000 52.0000 6.0000 33.0000
10.4818 55.0000 7.8328 17.9362
3.0982 71.0000 11.9491 6.0000
1.0000 31.0000 -0.5161 44.0000
2.0000 53.7914 5.7710 22.0000
21.0000 47.0000 4.0000 26.0000
⋮
Алгоритм ALS оценивает отсутствующие значения в данных.
Другой способ сравнить результаты состоит в том, чтобы найти угол между этими двумя пробелами заполненным векторами коэффициентов. Найдите угол между коэффициентами найденным для полных данных и данных с отсутствующими значениями с помощью ALS.
subspace(coeff,coeff1)
ans = 5.1543e-16
Это - маленькое значение. Это указывает, что результаты, если вы используете pca с 'Rows','complete' аргумент пары "имя-значение", когда нет никаких недостающих данных и если вы используете pca с 'algorithm','als' аргумент пары "имя-значение", когда там пропускает данные, друг близко к другу.
Выполните анализ главных компонентов с помощью 'Rows','complete' аргумент пары "имя-значение" и отображение коэффициенты компонента.
[coeff2,score2,latent,tsquared,explained,mu2] = pca(y,... 'Rows','complete'); coeff2
coeff2 = 4×3
-0.2054 0.8587 0.0492
-0.6694 -0.3720 0.5510
0.1474 -0.3513 -0.5187
0.6986 -0.0298 0.6518
В этом случае, pca удаляет строки с отсутствующими значениями и y имеет только четыре строки без отсутствующих значений. pca возвращает только три основных компонента. Вы не можете использовать 'Rows','pairwise' опция, потому что ковариационная матрица не положительна полуопределенный и pca возвращает сообщение об ошибке.
Найдите угол между коэффициентами найденным для полных данных и данных с отсутствующими значениями с помощью listwise удаление (когда 'Rows','complete').
subspace(coeff(:,1:3),coeff2)
ans = 0.3576
Угол между этими двумя пробелами существенно больше. Это указывает, что эти два результата отличаются.
Отобразите предполагаемое среднее значение.
mu2
mu2 = 1×4
7.8889 46.9091 9.8750 29.6000
В этом случае среднее значение является только демонстрационным средним значением y.
Восстановите наблюдаемые данные.
score2*coeff2'
ans = 13×4
NaN NaN NaN NaN
-7.5162 -18.3545 4.0968 22.0056
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
-0.5644 5.3213 -3.3432 3.6040
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
12.8315 -0.1076 -6.3333 -3.7758
⋮
Это показывает что, удаляя строки, содержащие NaN значения не работают, а также алгоритм ALS. Используя ALS лучше, когда данные имеют слишком много отсутствующих значений.
Коэффициенты основного компонента, баллы и отклонения
Найдите коэффициенты, баллы и отклонения основных компонентов.
Загрузите набор выборочных данных.
load haldДанные о компонентах имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Найдите коэффициенты основного компонента, баллы и отклонения компонентов для данных о компонентах.
[coeff,score,latent] = pca(ingredients)
coeff = 4×4
-0.0678 -0.6460 0.5673 0.5062
-0.6785 -0.0200 -0.5440 0.4933
0.0290 0.7553 0.4036 0.5156
0.7309 -0.1085 -0.4684 0.4844
score = 13×4
36.8218 -6.8709 -4.5909 0.3967
29.6073 4.6109 -2.2476 -0.3958
-12.9818 -4.2049 0.9022 -1.1261
23.7147 -6.6341 1.8547 -0.3786
-0.5532 -4.4617 -6.0874 0.1424
-10.8125 -3.6466 0.9130 -0.1350
-32.5882 8.9798 -1.6063 0.0818
22.6064 10.7259 3.2365 0.3243
-9.2626 8.9854 -0.0169 -0.5437
-3.2840 -14.1573 7.0465 0.3405
⋮
latent = 4×1
517.7969
67.4964
12.4054
0.2372
Каждый столбец score соответствует одному основному компоненту. Вектор, latent, хранит отклонения этих четырех основных компонентов.
Восстановите данные о компонентах в центре.
Xcentered = score*coeff'
Xcentered = 13×4
-0.4615 -22.1538 -5.7692 30.0000
-6.4615 -19.1538 3.2308 22.0000
3.5385 7.8462 -3.7692 -10.0000
3.5385 -17.1538 -3.7692 17.0000
-0.4615 3.8462 -5.7692 3.0000
3.5385 6.8462 -2.7692 -8.0000
-4.4615 22.8462 5.2308 -24.0000
-6.4615 -17.1538 10.2308 14.0000
-5.4615 5.8462 6.2308 -8.0000
13.5385 -1.1538 -7.7692 -4.0000
⋮
Новые данные в Xcentered исходные данные о компонентах, сосредоточенные путем вычитания средних значений столбца из соответствующих столбцов.
Визуализируйте и ортонормированные коэффициенты основного компонента для каждой переменной и музыку основного компонента к каждому наблюдению в одном графике.
biplot(coeff(:,1:2),'scores',score(:,1:2),'varlabels',{'v_1','v_2','v_3','v_4'});
Все четыре переменные представлены в этой побочной сюжетной линии вектором, и направление и длина вектора указывают, как каждая переменная способствует этим двум основным компонентам в графике. Например, первый основной компонент, который находится на горизонтальной оси, имеет положительные коэффициенты для третьих и четвертых переменных. Поэтому векторы и направлены в правильную половину графика. Самый большой коэффициент в первом основном компоненте является четвертым, соответствуя переменной .
Второй основной компонент, который находится на вертикальной оси, имеет отрицательные коэффициенты для переменных , , и , и положительный коэффициент для переменной .
Эта 2D побочная сюжетная линия также включает точку для каждого из этих 13 наблюдений с координатами, указывающими на счет каждого наблюдения для этих двух основных компонентов в графике. Например, точки около левого края графика имеют самую низкую музыку к первому основному компоненту. Точки масштабируются относительно максимального значения счета и максимальной содействующей длины, поэтому только их относительные местоположения могут быть определены из графика.
Статистическая величина T-Squared
Найдите статистические значения Хотеллинга T-squared.
Загрузите набор выборочных данных.
load haldДанные о компонентах имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Выполните анализ главных компонентов и запросите значения T-squared.
[coeff,score,latent,tsquared] = pca(ingredients); tsquared
tsquared = 13×1
5.6803
3.0758
6.0002
2.6198
3.3681
0.5668
3.4818
3.9794
2.6086
7.4818
⋮
Запросите только первые два основных компонента и вычислите значения T-squared на уменьшаемом пробеле требуемых основных компонентов.
[coeff,score,latent,tsquared] = pca(ingredients,'NumComponents',2);
tsquaredtsquared = 13×1
5.6803
3.0758
6.0002
2.6198
3.3681
0.5668
3.4818
3.9794
2.6086
7.4818
⋮
Обратите внимание на то, что, даже когда вы задаете уменьшаемый пробел компонента, pca вычисляет значения T-squared на полном пробеле, с помощью всех четырех компонентов.
Значение T-squared на уменьшаемом пробеле соответствует расстоянию Mahalanobis на уменьшаемом пробеле.
tsqreduced = mahal(score,score)
tsqreduced = 13×1
3.3179
2.0079
0.5874
1.7382
0.2955
0.4228
3.2457
2.6914
1.3619
2.9903
⋮
Вычислите значения T-squared на отброшенном пробеле путем взятия различия значений T-squared на полном пробеле и расстояния Mahalanobis на уменьшаемом пробеле.
tsqdiscarded = tsquared - tsqreduced
tsqdiscarded = 13×1
2.3624
1.0679
5.4128
0.8816
3.0726
0.1440
0.2362
1.2880
1.2467
4.4915
⋮
Изменчивость процента, объясненная основными компонентами
Найдите изменчивость процента объясненной основными компонентами. Покажите представление данных на пробеле основных компонентов.
Загрузите набор выборочных данных.
load imports-85Матрица данных X имеет 13 непрерывных переменных в столбцах 3 - 15: колесная база, длина, ширина, высота, собственный вес, объем двигателя, скука, диапазон, коэффициент сжатия, лошадиная сила, пиковый об/мин, город-mpg и магистраль-mpg.
Найдите изменчивость процента объясненной основными компонентами этих переменных.
[coeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(X(:,3:15)); explained
explained = 13×1
64.3429
35.4484
0.1550
0.0379
0.0078
0.0048
0.0013
0.0011
0.0005
0.0002
⋮
Первые три компонента объясняют 99,95% всей изменчивости.
Визуализируйте представление данных в течение первых трех основных компонентов.
scatter3(score(:,1),score(:,2),score(:,3)) axis equal xlabel('1st Principal Component') ylabel('2nd Principal Component') zlabel('3rd Principal Component')
Данные показывают самую большую изменчивость вдоль первой оси основного компонента. Это - самое большое отклонение среди всего возможного выбора первой оси. Изменчивость вдоль второй оси основного компонента является самой большой среди всего возможного остающегося выбора второй оси. Третья ось основного компонента имеет третью по величине изменчивость, которая значительно меньше, чем изменчивость вдоль второй оси основного компонента. Четвертые через тринадцатые оси основного компонента не стоит смотреть, потому что они объясняют только 0,05% всей изменчивости в данных.
Чтобы пропустить любые из выходных параметров, можно использовать ~ вместо этого в соответствующем элементе. Например, если вы не хотите получать значения T-squared, задать
[coeff,score,latent,~,explained] = pca(X(:,3:15));
Примените PCA к новым данным и сгенерируйте код C/C++
Найдите основные компоненты для одного набора данных и примените PCA к другому набору данных. Эта процедура полезна, когда у вас есть обучающий набор данных и набор тестовых данных для модели машинного обучения. Например, можно предварительно обработать обучающий набор данных при помощи PCA и затем обучить модель. Чтобы протестировать обученную модель с помощью набора тестовых данных, необходимо применить преобразование PCA, полученное от обучающих данных до набора тестовых данных.
Этот пример также описывает, как сгенерировать код C/C++. Поскольку pca генерация кода поддержек, можно сгенерировать код, который выполняет PCA использование обучающего набора данных, и примените PCA к набору тестовых данных. Затем разверните код в устройство. В этом рабочем процессе необходимо передать обучающие данные, которые могут иметь значительный размер. Чтобы сохранить память на устройстве, можно разделить обучение и прогноз. Используйте pca в MATLAB® и применяют PCA к новым данным в сгенерированном коде на устройстве.
Генерация кода C/C++ требует MATLAB® Coder™.
Примените PCA к новым данным
Загрузите набор данных в таблицу при помощи readtable. Набор данных находится в файле CreditRating_Historical.dat, который содержит исторические данные о кредитном рейтинге.
creditrating = readtable('CreditRating_Historical.dat');
creditrating(1:5,:)ans=5×8 table
ID WC_TA RE_TA EBIT_TA MVE_BVTD S_TA Industry Rating
_____ _____ _____ _______ ________ _____ ________ _______
62394 0.013 0.104 0.036 0.447 0.142 3 {'BB' }
48608 0.232 0.335 0.062 1.969 0.281 8 {'A' }
42444 0.311 0.367 0.074 1.935 0.366 1 {'A' }
48631 0.194 0.263 0.062 1.017 0.228 4 {'BBB'}
43768 0.121 0.413 0.057 3.647 0.466 12 {'AAA'}
Первый столбец является ID каждого наблюдения, и последний столбец является оценкой. Задайте второе к седьмым столбцам как данные о предикторе и задайте последний столбец (Rating) как ответ.
X = table2array(creditrating(:,2:7)); Y = creditrating.Rating;
Используйте первые 100 наблюдений в качестве тестовых данных и остальных как обучающие данные.
XTest = X(1:100,:); XTrain = X(101:end,:); YTest = Y(1:100); YTrain = Y(101:end);
Найдите основные компоненты для обучающего набора данных XTrain.
[coeff,scoreTrain,~,~,explained,mu] = pca(XTrain);
Этот код возвращает четыре выходных параметра: coeff, scoreTrain, explained, и mu. Используйте explained (процент общего объясненного отклонения), чтобы найти количество компонентов требуемым объяснить по крайней мере 95%-ю изменчивость. Используйте coeff (коэффициенты основного компонента) и mu (предполагаемые средние значения XTrain) применять PCA к набору тестовых данных. Используйте scoreTrain (баллы основного компонента) вместо XTrain когда вы обучаете модель.
Отобразите изменчивость процента, объясненную основными компонентами.
explained
explained = 6×1
58.2614
41.2606
0.3875
0.0632
0.0269
0.0005
Первые два компонента объясняют больше чем 95% всей изменчивости. Программно найдите количество компонентов требуемым объяснить по крайней мере 95%-ю изменчивость при помощи while цикл.
sum_explained = 0; idx = 0; while sum_explained < 95 idx = idx + 1; sum_explained = sum_explained + explained(idx); end idx
idx = 2
Обучите дерево классификации использование первых двух компонентов.
scoreTrain95 = scoreTrain(:,1:idx); mdl = fitctree(scoreTrain95,YTrain);
mdl ClassificationTree модель.
Чтобы использовать обученную модель в наборе тестов, необходимо преобразовать набор тестовых данных при помощи PCA, полученного из обучающего набора данных. Получите множество основного компонента тестовых данных, установленных путем вычитания mu от XTest и умножение на coeff. Только музыка к первым двум компонентам необходима, так используйте первые два коэффициента coeff(:,1:idx).
scoreTest95 = (XTest-mu)*coeff(:,1:idx);
Передайте обученную модель mdl и преобразованные тестовые данные устанавливают scoreTest к predict функция, чтобы предсказать оценки для набора тестов.
YTest_predicted = predict(mdl,scoreTest95);
Сгенерируйте код
Сгенерируйте код, который применяет PCA к данным и предсказывает оценки с помощью обученной модели. Обратите внимание на то, что генерация кода C/C++ требует MATLAB® Coder™.
Сохраните модель классификации в файл myMdl.mat при помощи saveLearnerForCoder.
saveLearnerForCoder(mdl,'myMdl');Задайте функцию с именем точки входа myPCAPredict это принимает набор тестовых данных (XTest) и информация о PCA (coeff и mu) и возвращает оценки тестовых данных.
Добавьте %#codegen директива компилятора (или прагма) к функции точки входа после функциональной подписи, чтобы указать, что вы намереваетесь сгенерировать код для алгоритма MATLAB. Добавление этой директивы дает Анализатору кода MATLAB команду помогать вам диагностировать и зафиксировать нарушения, которые вызвали бы ошибки во время генерации кода.
type myPCAPredict % Display contents of myPCAPredict.m
function label = myPCAPredict(XTest,coeff,mu) %#codegen
% Transform data using PCA
scoreTest = bsxfun(@minus,XTest,mu)*coeff;
% Load trained classification model
mdl = loadLearnerForCoder('myMdl');
% Predict ratings using the loaded model
label = predict(mdl,scoreTest);
myPCAPredict применяет PCA к новым данным с помощью coeff и mu, и затем предсказывает оценки с помощью преобразованных данных. Таким образом вы не передаете обучающие данные, которые могут иметь значительный размер.
Примечание: Если вы нажимаете кнопку, расположенную в верхнем правом разделе этой страницы, и открываете этот пример в MATLAB®, затем MATLAB® открывает папку в качестве примера. Эта папка включает файл функции точки входа.
Сгенерируйте код при помощи codegen. Поскольку C и C++ являются статически типизированными языками, необходимо определить свойства всех переменных в функции точки входа во время компиляции. Чтобы задать тип данных и точный размер входного массива, передайте выражение MATLAB®, которое представляет множество значений с определенным размером типа данных и массива при помощи -args опция. Если количество наблюдений неизвестно во время компиляции, можно также задать вход как переменный размер при помощи coder.typeof. Для получения дополнительной информации смотрите, Задают Аргументы Переменного Размера для Генерации кода.
codegen myPCAPredict -args {coder.typeof(XTest,[Inf,6],[1,0]),coeff(:,1:idx),mu}
codegen генерирует MEX-функцию myPCAPredict_mex с зависимым платформой расширением.
Проверьте сгенерированный код.
YTest_predicted_mex = myPCAPredict_mex(XTest,coeff(:,1:idx),mu); isequal(YTest_predicted,YTest_predicted_mex)
ans = logical
1
isequal возвращает логическую единицу (true), что означает, что все входные параметры равны. Сравнение подтверждает что predict функция mdl и myPCAPredict_mex функциональный возврат те же оценки.
Для получения дополнительной информации о генерации кода смотрите Введение в Код Генерация кода Generationand и Приложение Classification Learner. Последний описывает, как выполнить PCA и обучить модель при помощи приложения Classification Learner, и как сгенерировать код C/C++, который предсказывает метки для новых данных на основе обученной модели.
Входные параметры
Выходные аргументы
Больше о
Ссылки
[1] Jolliffe, я. T. Анализ главных компонентов. 2-й редактор, Спрингер, 2002.
[2] Крзановский, W. J. Принципы многомерного анализа. Издательство Оксфордского университета, 1988.
[3] Seber, G. A. F. Многомерные наблюдения. Вайли, 1984.
[4] Джексон, J. E. A. Руководство пользователя к основным компонентам. Вайли, 1988.
[5] Roweis, S. “Алгоритмы EM для PCA и SPCA”. В Продолжениях 1 997 Конференций по Усовершенствованиям в Нейронных Системах обработки информации. Vol.10 (NIPS 1997), Кембридж, MA, США: Нажатие MIT, 1998, стр 626–632.
[6] Ilin, A. и Т. Райко. “Практические Подходы к Анализу главных компонентов в присутствии Отсутствующих значений”. Дж. Мах. Учиться. Res.. Издание 11, август 2010, стр 1957–2000.