Документация

Определение

Функция плотности вероятности (PDF) распределения t Студента

где ν является степенями свободы и Γ  (·) Гамма функция. Результатом y является вероятность наблюдения особого значения x от распределения t Студента со степенями свободы ν.

График

Этот график показывает, как, изменяя значение параметра степеней свободы ν изменяет форму PDF. Используйте tpdf чтобы вычислить PDF для значений, x равняется 0 до 10 для трех различных значений ν. Затем постройте все три pdfs на той же фигуре для визуального сравнения.

x = [0:.1:10];
y1 = tpdf(x,5);   % For nu = 5
y2 = tpdf(x,25);  % For nu = 25
y3 = tpdf(x,50);  % For nu = 50

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
hold off

Генерация случайных чисел

Используйте trnd сгенерировать случайные числа от распределения t Студента. Например, следующее генерирует случайное число от распределения t Студента со степенями свободы ν, равный 10.

nu = 10;
r = trnd(nu)

r = 1.0585

Связь с другими распределениями

Как степени свободы ν переходит к бесконечности, распределение t приближается к стандартному нормальному распределению.

Если x является случайной выборкой размера n от нормального распределения со средним μ, то статистическая величина

где $$\overline{x}$$ демонстрационное среднее значение, и s является демонстрационным стандартным отклонением, имеет распределение t Студента с n – 1 степень свободы.

Распределение Коши является распределением t Студента со степенями свободы ν, равный 1. Распределение Коши имеет неопределенное среднее значение и отклонение.

Определение

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения t Студента

где ν является степенями свободы и Γ  (·) Гамма функция. p результата является вероятностью, что одно наблюдение от распределения t со степенями свободы ν упадет в интервале [– ∞, x].

График

Этот график показывает, как, изменяя значение параметра ν изменяет форму cdf. Используйте tcdf чтобы вычислить cdf для значений, x равняется 0 до 10 для трех различных значений ν. Затем постройте все три cdfs на той же фигуре для визуального сравнения.

x = [0:.1:10];
y1 = tcdf(x,5);   % For nu = 5
y2 = tcdf(x,25);  % For nu = 25
y3 = tcdf(x,50);  % For nu = 50

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
hold off

Инверсия cdf

Используйте tinv вычислить инверсию cdf распределения t Студента.

p = .95;
nu = 50;
x = tinv(p,nu)

x = 1.6759

Сравните t Студента и Нормальное распределение pdfs

T распределение Студента является семейством кривых в зависимости от одного параметра ν (степени свободы). Как степени свободы ν переходит к бесконечности, t распределение приближается к стандартному нормальному распределению. Вычислите pdfs для t распределения Студента параметром nu = 5 и t распределение Студента параметром nu = 25. Вычислите PDF для стандартного нормального распределения.

x = -5:0.1:5;
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);
z = normpdf(x,0,1);

Постройте t Студента pdfs и стандартный нормальный PDF на той же фигуре. Стандартный нормальный PDF имеет более короткие хвосты, чем t Студента pdfs.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=25', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')