Уравнение, возвращающее функцию Куммера У как ее решение

dsolve может возвратить решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в терминах функции Куммера У.

Решите это уравнение. Решатель возвращает результаты в терминах функции Куммера У и другой гипергеометрической функции.

syms t z y(z)
dsolve(z^3*diff(y,2) + (z^2 + t)*diff(y) + z*y)

ans =
(C4*hypergeom(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i +...
(C3*kummerU(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i

Функция Куммера У для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, kummerU может возвратить или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Вычислите функцию Куммера У для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

A = [kummerU(-1/3, 2.5, 2)
kummerU(1/3, 2, pi)
kummerU(1/2, 1/3, 3*i)]

A =
   0.8234 + 0.0000i
   0.7284 + 0.0000i
   0.4434 - 0.3204i

Вычислите функцию Куммера У для чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел, kummerU отвечает на неразрешенные символьные звонки.

symA = [kummerU(-1/3, 2.5, sym(2))
kummerU(1/3, 2, sym(pi))
kummerU(1/2, sym(1/3), 3*i)]

symA =
  kummerU(-1/3, 5/2, 2)
    kummerU(1/3, 2, pi)
 kummerU(1/2, 1/3, 3i)

Используйте vpa аппроксимировать символьные результаты необходимым количеством цифр.

vpa(symA,10)

ans =
                  0.8233667846
                  0.7284037305
 0.4434362538 - 0.3204327531i

Некоторые специальные значения Куммера У.

Функция Куммера У имеет специальные значения для некоторых параметров.

Если a отрицательное целое число, функция Куммера У уменьшает до полинома.

syms a b z
[kummerU(-1, b, z)
kummerU(-2, b, z)
kummerU(-3, b, z)]

ans =
                                                                 z - b
                                           b - 2*z*(b + 1) + b^2 + z^2
 6*z*(b^2/2 + (3*b)/2 + 1) - 2*b - 6*z^2*(b/2 + 1) - 3*b^2 - b^3 + z^3

Если b = 2*a, функция Куммера У уменьшает до выражения, включающего модифицированную Функцию Бесселя второго вида.

kummerU(a, 2*a, z)

ans =
(z^(1/2 - a)*exp(z/2)*besselk(a - 1/2, z/2))/pi^(1/2)

Если a = 1 или a = b, функция Куммера У уменьшает до выражения, включающего неполную гамма функцию.

kummerU(1, b, z)

ans =
z^(1 - b)*exp(z)*igamma(b - 1, z)

kummerU(a, a, z)

ans =
exp(z)*igamma(1 - a, z)

Если a = 0, функцией Куммера У является 1.

kummerU(0, a, z)

ans =
1

Обработайте выражения, содержащие функцию Куммера У

Много функций, таких как diff, int, и limit, может обработать выражения, содержащие kummerU.

Найдите первую производную функции Куммера У относительно z.

syms a b z
diff(kummerU(a, b, z), z)

ans =
(a*kummerU(a + 1, b, z)*(a - b + 1))/z - (a*kummerU(a, b, z))/z

Найдите неопределенный интеграл функции Куммера У относительно z.

int(kummerU(a, b, z), z)

ans =
((b - 2)/(a - 1) - 1)*kummerU(a, b, z) +...
(kummerU(a + 1, b, z)*(a - a*b + a^2))/(a - 1) -...
(z*kummerU(a, b, z))/(a - 1) 

Найдите предел этой функции Куммера У.

limit(kummerU(1/2, -1, z), z, 0)

ans =
4/(3*pi^(1/2))