polylib
::realroots
Изолируйте все действительные корни действительного одномерного полинома
Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.
Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.
polylib::realroots(p
) polylib::realroots(p
,eps
)
polylib::realroots(p)
возвращает интервалы, изолирующие действительные корни действительного одномерного полиномиального p
.
polylib::realroots(p, eps)
возвращает усовершенствованные интервалы, аппроксимирующие действительные корни p
к относительной точности, данной eps
.
Все коэффициенты p
должно быть действительным и числовым, т.е. или целые числа, rationals или числа с плавающей запятой. Числовые символьные объекты, такие как sqrt(2)
, exp(10*PI)
и т.д. приняты, если они могут быть преобразованы в действительные числа с плавающей запятой через float
. То же самое содержит для цели точности eps
.
Интервалы изоляции упорядочены таким образом, что их центры увеличиваются, т.е. a i + b i <a i + 1 + b i + 1.
Номер nops(realroots(p))
из интервалов количество действительных корней p
. Несколько корней считаются только однажды. См. Пример 3.
Изоляция интервалов может быть довольно большой. Дополнительный аргумент eps
может использоваться, чтобы совершенствовать интервалы, таким образом, что они аппроксимируют действительные корни к относительной точности eps
. С этим аргументом удовлетворяют возвращенные интервалы, т.е. каждый центр аппроксимирует корень относительной точностью eps/2
.
Некоторую заботу нужно соблюдать при попытке получить очень точные приближения корней через маленькие значения eps
. Внутренне, bisectioning с точной рациональной арифметикой используется, чтобы определить местоположение корней к точности eps
. Этот процесс может занять намного больше времени, чем определение интервалов изоляции, не используя второй аргумент eps
в polylib::realroots
. Это может быть быстрее, чтобы использовать умеренные значения eps
получить первые приближения корней через polylib::realroots
. Эти приближения могут затем быть улучшены быстрым числовым решателем, таким как numeric::fsolve
с соответственно высоким значением DIGITS
. См. Пример 6. Однако отметьте тот polylib::realroots
будет всегда преуспевать в том, чтобы определить местоположение корней к желаемой точности в конечном счете. Числовые решатели могут привести к сбою или возвратить корень, не принадлежащий интервалу, который использовался в начальном приближении.
Неожиданные результаты могут быть получены, когда полином содержит иррациональные коэффициенты. Внутренне, любой такой коэффициент c преобразован в число с плавающей запятой. Это плавание затем заменяется рациональным числом аппроксимации удовлетворение r. Наконец, polylib::realroots
возвращает строгие границы для действительных корней рационализированного полинома. Несмотря на то, что все коэффициенты аппроксимированы правильно к DIGITS
десятичные разряды это может изменить корни решительно. В частности, несколько корней или кластеров плохо разделенных простых корней очень чувствительны к небольшим возмущениям в коэффициентах полинома. Смотрите Пример 4 и Пример 5.
Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS
, если существует нецелое число или нерациональные коэффициенты в полиноме. Любой такой коэффициент заменяется рациональным числом, аппроксимирующим коэффициент к DIGITS
значительные десятичные разряды.
Мы используем многочленное выражение в качестве входа к polylib::realroots
:
p := (x - 1/3)*(x - 1)*(x - 4/3)*(x - 2)*(x - 17):
polylib::realroots(p)
Корни 1 и 2 найдены точно: соответствующие интервалы имеют длину 0. Другие интервалы изоляции являются довольно большими. Мы совершенствовали интервалы, таким образом, что они аппроксимируют корни к 12 десятичным разрядам. Обратите внимание на то, что это независимо от текущего значения DIGITS
, потому что никакая арифметика с плавающей точкой не используется:
polylib::realroots(p, 10^(-12))
Мы преобразуем эти точные границы для действительных корней к приближениям с плавающей точкой. Обратите внимание на то, что со значением по умолчанию DIGITS=10
мы игнорируем 2 из 12 правильных цифр, которые могли потенциально дать рациональные границы:
map(%, map, float)
delete p:
Ортогональные полиномы степени n имеют n простые действительные корни. Мы считаем Полином лежандра степени 5, доступным в библиотеке orthpoly
для ортогональных полиномов:
polylib::realroots(orthpoly::legendre(5, x), 10^(-DIGITS)):
map(%, float@op, 1)
Мы рассматриваем полином с корнем кратного:
p := poly((x - 1/3)^3*(x - 1), [x])
Обратите внимание на то, что только один интервал изоляции [
0, 1] возвращен для тройного корня:
polylib::realroots(p)
delete p:
Мы рассматриваем полином с нерациональными корнями:
p := (x - 3)^2*(x - PI)^2:
Преобразование результата polylib::realroots
к числам с плавающей запятой каждый видит что точные корни 3, 3, PI, PI
аппроксимированы только к 3 десятичным разрядам:
map(polylib::realroots(p, 10^(-10)), map, float)
Это вызывается внутренней рационализацией коэффициентов p
.
Интервалы возвращены polylib::realroots(p, 10^(-10))
правильно найдите 4 точных корня этого рационализированного полинома к точности 10 цифр. Однако, потому что все 4 корня близки, небольшие возмущения коэффициентов, введенных рационализацией, оказывают решительное влияние на местоположение корней. В частности, рационализация разделяет два исходных двойных корня в 4 простых корня.
delete p:
Мы считаем дальнейший пример включающими неточными коэффициентами. Сначала мы аппроксимируем корни полинома с точными коэффициентами:
p1 := (x - 1/3)^3*(x - 4/3):
map(polylib::realroots(p1, 10^(-10)), map, float)
Теперь мы вводим ошибки округления, заменяя одну запись приближением с плавающей точкой:
p2 := (x - 1.0/3)^3*(x - 4/3):
map(polylib::realroots(p2, 10^(-10)),map,float)
В этом примере рационализация вызвала тройной корневой 1/3
разделять в один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня.
delete p1, p2:
Мы хотим аппроксимировать корни к точности 1 000 цифр:
p := x^5 - 129/20*x^4 + 69/5*x^3 - 14*x^2 + 12*x - 8:
Мы рекомендуем не получить результат непосредственно polylib::realroots(p,10^(-1000))
, потому что внутренний bisectioning процесс для совершенствования грубой изоляции интервалов сходится только линейно. Вместо этого мы вычисляем первые приближения корней к точности 10 цифр:
approx := map(polylib::realroots(p, 10^(-10)), float@op, 1)
Эти значения используются в качестве начальных точек для числового корневого средства поиска. Внутренний Ньютон ищет в numeric::fsolve
сходится квадратично и уступает, высокая точность заканчивается намного быстрее, чем polylib::realroots
:
DIGITS := 1000:
roots := map(approx, x0 -> numeric::fsolve([p = 0], [x = x0]))
[[x = 1.489177598846870281338916114673844643894...], [x = 1.752191733304413195335101727880090131407...], [x = 3.255184555797733438479691333705558491124...]]
delete approx, DIGITS, roots, x0:
|
Одномерный полином: или выражение или polyomial доменного типа |
|
(Небольшое) положительное вещественное число, определяющее размер возвращенных интервалов. |
Список списков [[a 1, b 1], [a 2, b 2], …] с рациональными числами a i ≤ b i возвращен. Списки с a i = b i представляют точные рациональные корни. Списки с a i <b i представляют открытые интервалы, содержащие точно один действительный корень. Если полином не имеет никаких действительных корней, то пустой список [ ]
возвращен.