Уравнение кода

Создайте функцию, чтобы закодировать уравнение. Эта функция должна иметь подпись dydx = bvpfun(x,y) или dydx = bvpfun(x,y,parameters), где:

Эти входные параметры автоматически передаются функции решателем, но имена переменных определяют, как вы кодируете уравнения. В этом случае можно переписать уравнение второго порядка как систему уравнений первого порядка

${{\mathit{y}}_1}^{\prime }={\mathit{y}}_2$,

${{\mathit{y}}_2}^{\prime }=-{\mathit{e}}^{{\mathit{y}}_1}$.

Функция, кодирующая эти уравнения,

function dydx = bvpfun(x,y)
dydx = [y(2)
        -exp(y(1))];
end

Граничные условия кода

Для условий граничного значения 2D точки как те в этой проблеме функция граничных условий должна иметь подпись res = bcfun(ya,yb) или res = bcfun(ya,yb,parameters)В зависимости от того, включены ли неизвестные параметры. ya и yb вектор-столбцы, которые решатель автоматически передает функции и bcfun возвращает невязку в граничных условиях.

Для граничных условий $\mathit{y}\left(0\right)=\mathit{y}\left(1\right)=0$, bcfun функция указывает, что остаточное значение является нулем на обоих контурах. Эти остаточные значения осуществляются в первых и последних точках mesh, что вы задаете к bvpinit в вашем исходном предположении. Начальная mesh в этой проблеме должна иметь x(1) = 0 и x(end) = 1.

function res = bcfun(ya,yb)
res = [ya(1)
       yb(1)];
end

Сформируйте исходное предположение

Вызовите bvpinit сгенерировать исходное предположение решения. Mesh для x не должен иметь большого количества точек, но первая точка должна быть 0. Затем последняя точка должна быть 1 так, чтобы граничные условия были правильно заданы. Используйте исходное предположение в y где первый компонент немного положителен, и второй компонент является нулем.

xmesh = linspace(0,1,5);
solinit = bvpinit(xmesh, [0.1 0]);

Решите уравнение

Решите BVP использование bvp4c решатель.

sol1 = bvp4c(@bvpfun, @bcfun, solinit);

Используйте различное исходное предположение

Решите BVP во второй раз с помощью различного исходного предположения в решении.

solinit = bvpinit(xmesh, [3 0]);
sol2 = bvp4c(@bvpfun, @bcfun, solinit);

Сравните решения

Постройте решения что bvp4c вычисляет для различных начальных условий. Оба решения удовлетворяют установленным граничным условиям, но имеют различный промежуток поведений. Поскольку решение не всегда уникально, различные поведения показывают важность высказывания хорошего исходного предположения для решения.

plot(sol1.x,sol1.y(1,:),'-o',sol2.x,sol2.y(1,:),'-o')
title('BVP with Different Solutions That Depend on the Initial Guess')
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('Solution 1','Solution 2')

Локальные функции

Перечисленный здесь локальные функции помощника что решатель BVP bvp4c вызовы, чтобы вычислить решение. В качестве альтернативы можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.

function dydx = bvpfun(x,y) % equation being solved
dydx = [y(2)
        -exp(y(1))];
end
%-------------------------------------------
function res = bcfun(ya,yb) % boundary conditions 
res = [ya(1)
       yb(1)];
end
%-------------------------------------------