Документация

Эти две цели в этом примере переключены и масштабированные версии выпуклой функции $$\sqrt{1+x^2}$$.

function f = simple_mult(x)

f(:,1) = sqrt(1+x.^2);
f(:,2) = 4 + 2*sqrt(1+(x-1).^2);

Оба компонента увеличиваются, как x уменьшается ниже 0 или увеличивается выше 1. Промежуточный 0 и 1, f ₁ (x) увеличивается, и f ₂ (x) уменьшается, таким образом, существует область компромисса.

t = linspace(-0.5,1.5);
F = simple_mult(t);
plot(t,F,'LineWidth',2)
hold on
plot([0,0],[0,8],'g--');
plot([1,1],[0,8],'g--');
plot([0,1],[1,6],'k.','MarkerSize',15);
text(-0.25,1.5,'Minimum(f_1(x))')
text(.75,5.5,'Minimum(f_2(x))')
hold off
legend('f_1(x)','f_2(x)')
xlabel({'x';'Tradeoff region between the green lines'})

Чтобы найти переднюю сторону Парето, сначала найдите неограниченные минимумы двух функций. В этом случае вы видите контролем, что минимум f ₁ (x) равняется 1, и минимум f ₂ (x) равняется 6, но в целом вы можете должны быть использовать стандартную программу оптимизации.

В общем случае запишите функцию, которая возвращает конкретный компонент многоцелевой функции.

function z = pickindex(x,k)
z = simple_mult(x); % evaluate both objectives
z = z(k); % return objective k

Затем найдите минимум каждого компонента с помощью решателя оптимизации. Можно использовать fminbnd в этом случае, или fminunc для более многомерных проблем.

k = 1;
[min1,minfn1] = fminbnd(@(x)pickindex(x,k),-1,2);
k = 2;
[min2,minfn2] = fminbnd(@(x)pickindex(x,k),-1,2);

Установите цели, которые являются неограниченным optima для каждого компонента. Можно одновременно достигнуть этих целей, только если многоцелевые функции не вмешиваются друг в друга, означая, что нет никакого компромисса.

goal = [minfn1,minfn2];

Чтобы вычислить переднюю сторону Парето, возьмите векторы веса [a, 1–a] для a от 0 до 1. Решите целевую задачу достижения, установив веса на различные значения.

nf = 2; % number of objective functions
N = 50; % number of points for plotting
onen = 1/N;
x = zeros(N+1,1);
f = zeros(N+1,nf);
fun = @simple_mult;
x0 = 0.5;
options = optimoptions('fgoalattain','Display','off');
for r = 0:N
    t = onen*r; % 0 through 1
    weight = [t,1-t];
    [x(r+1,:),f(r+1,:)] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,...
        [],[],[],[],[],[],[],options);
end

figure
plot(f(:,1),f(:,2),'k.');
xlabel('f_1')
ylabel('f_2')

Вы видите компромисс между этими двумя целями.