Решите ограниченную нелинейную оптимизацию, основанную на проблеме

В этом примере показано, как найти минимум нелинейной целевой функции с нелинейным ограничением при помощи подхода, основанного на проблеме. Для видео, показывающего решение подобной проблемы, смотрите Основанное на проблеме Нелинейное программирование.

Чтобы найти минимальное значение нелинейной целевой функции с помощью подхода, основанного на проблеме, сначала запишите целевую функцию как файл или анонимную функцию. Целевая функция для этого примера

type objfunx

function f = objfunx(x,y)
f = exp(x).*(4*x.^2 + 2*y.^2 + 4*x.*y + 2*y - 1);
end

Создайте переменные x задачи оптимизации и y.

x = optimvar('x');
y = optimvar('y');

Создайте целевую функцию как выражение в переменных оптимизации.

obj = objfunx(x,y);

Создайте задачу оптимизации с obj как целевая функция.

prob = optimproblem('Objective',obj);

Создайте нелинейное ограничение, в виде которого решение находится в наклоненном эллипсе

Создайте ограничение как выражение неравенства в переменных оптимизации.

TiltEllipse = x.*y/2 + (x+2).^2 + (y-2).^2/2 <= 2;

Включайте ограничение в проблему.

prob.Constraints.constr = TiltEllipse;

Создайте структуру, представляющую начальную точку как x = –3, y = 3.

x0.x = -3;
x0.y = 3;

Рассмотрите проблему.

show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x, y

	minimize :
       (exp(x) .* (((((4 .* x.^2) + (2 .* y.^2)) + ((4 .* x) .* y))
     + (2 .* y)) - 1))


	subject to constr:
       ((((x .* y) ./ 2) + (x + 2).^2) + ((y - 2).^2 ./ 2)) <= 2
     

Решите задачу.

[sol,fval] = solve(prob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

sol = struct with fields:
    x: -5.2813
    y: 4.6815

fval = 0.3299

Попробуйте различную стартовую точку.

x0.x = -1;
x0.y = 1;
[sol2,fval2] = solve(prob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

sol2 = struct with fields:
    x: -0.8210
    y: 0.6696

fval2 = 0.7626

Постройте эллипс, контуры целевой функции и эти два решения.

f = @objfunx;
g = @(x,y) x.*y/2+(x+2).^2+(y-2).^2/2-2;
rnge = [-5.5 -0.25 -0.25 7];
fimplicit(g,'k-')
axis(rnge);
hold on
fcontour(f,rnge,'LevelList',logspace(-1,1))
plot(sol.x,sol.y,'ro','LineWidth',2)
plot(sol2.x,sol2.y,'ko','LineWidth',2)
legend('Constraint','f Contours','Global Solution','Local Solution','Location','northeast');
hold off

Решения находятся на нелинейной границе ограничений. Контурный график показывает, что это единственные локальные минимумы. График также показывает, что существует стационарная точка рядом [–2,3/2], и локальные максимумы около [–2,0] и [–1,4].

obj = fcn2optimexpr(@objfunx,x,y);

prob = optimproblem('Objective',obj);

Смотрите также

fcn2optimexpr

Похожие темы

• Основанная на проблеме нелинейная оптимизация