Основы метода конечных элементов

Базовый алгоритм Partial Differential Equation Toolbox™ использует метод конечных элементов (FEM) в проблемах, заданных на ограниченных областях в 2D или трехмерном пространстве. В большинстве случаев элементарные функции не могут выразить решений даже простых УЧП на сложных конфигурациях. Метод конечных элементов описывает сложную геометрию как набор субдоменов путем генерации mesh на геометрии. Например, можно аппроксимировать вычислительную область Ω объединением треугольников (2D геометрия) или тетраэдры (3-D геометрия). Субдомены формируют mesh, и каждая вершина называется узлом. Следующий шаг должен аппроксимировать исходную проблему УЧП на каждом субдомене при помощи более простых уравнений.

Например, рассмотрите основное эллиптическое уравнение.

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f on domain Ω$

Предположим, что это уравнение является предметом к граничному условию Дирихле $u = r$ на $\partial Ω_{D}$ и Неймановы граничные условия на $\partial Ω_{N}$ . Здесь, $\partial Ω = \partial Ω_{D} \cup \partial Ω_{N}$ контур Ω.

Первый шаг в FEM должен преобразовать исходный дифференциал (strong) форма УЧП в интеграл (weak) форма путем умножения с тестовой функцией $v$ и интеграция по области Ω.

$\int_{Ω} (- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u - f) v d Ω = 0 \forall v$

Тестовые функции выбраны из набора функций (функциональный пробел), которые исчезают на фрагменте Дирихле контура, $v = 0$ на $\partial Ω_{D}$ . Выше уравнения может считаться взвешенным усреднением остатка с помощью всех возможных функций взвешивания $v$ . Набор функций, которые являются допустимыми решениями, u, слабой формы УЧП выбран так, чтобы они удовлетворили Дирихле БК, u = r на $\partial Ω_{D}$ .

При интеграции частями (Формула зеленого) термин второго порядка приводит к:

$\int_{Ω} (c \nabla u \nabla v + a u v) d Ω - \int_{\partial Ω_{N}} \vec{n} \cdot (c \nabla u) v d \partial Ω_{N} + \int_{\partial Ω_{D}} \vec{n} \cdot (c \nabla u) v d \partial Ω_{D} = \int_{Ω} f v d Ω \forall v$

Используйте Нейманово граничное условие, чтобы заменить второй срок на левой стороне уравнения. Кроме того, отметьте это $v = 0$ на $\partial Ω_{D}$ аннулирует третий срок. Получившееся уравнение:

$\int_{Ω} (c \nabla u \nabla v + a u v) d Ω + \int_{\partial Ω_{N}} q u v d \partial Ω_{N} = \int_{\partial Ω_{N}} g v d \partial Ω_{N} + \int_{Ω} f v d Ω \forall v$

Обратите внимание на то, что все манипуляции до этого этапа выполняются на континууме Ω, глобальная область проблемы. Поэтому набор допустимых функций и испытательных функций охватывает бесконечно-размерные функциональные пробелы. Следующий шаг должен дискретизировать слабую форму путем подразделения Ω в меньшие субдомены или элементы $Ω^{e}$ , где $Ω = \cup Ω^{e}$ . Этот шаг эквивалентен проекции слабой формы УЧП на конечномерное подпространство. Используя обозначения $u_{h}$ и $v_{h}$ представлять конечномерный эквивалент допустимых и испытательных функций, определяемых на $Ω^{e}$ , можно записать дискретизированную слабую форму УЧП как:

$\int_{Ω^{e}} (c \nabla u_{h} \nabla v_{h} + a u_{h} v_{h}) d Ω^{e} + \int_{\partial Ω_{N}^{e}} q u_{h} v_{h} d \partial Ω_{N}^{e} = \int_{\partial Ω_{N}^{e}} g v_{h} d \partial Ω_{N}^{e} + \int_{Ω^{e}} f v_{h} d Ω^{e} \forall v_{h}$

Затем позвольте ϕ _i, с i = 1, 2..., N _p, будьте основными функциями кусочного полинома для подпространства, содержащего наборы $u_{h}$ и $v_{h}$ , затем какой-то конкретный $u_{h}$ может быть выражен как линейная комбинация основных функций:

$u_{h} = \sum_{1}^{N_{p}} U_{i} ϕ_{i}$

Здесь U _i является все же неопределенными скалярными коэффициентами. Замена $u_{h}$ в к дискретизированной слабой форме УЧП и использующий каждого $v_{h} = φ_{i}$ как тестовые функции и интегрирование выполнения по элементу дает к системе N уравнения _p в терминах N неизвестные _p U _i.

Обратите внимание на то, что метод конечных элементов аппроксимирует решение путем минимизации связанной функции ошибок. Процесс минимизации автоматически находит линейную комбинацию основных функций, которая является самой близкой к решению u.

FEM дает к системе KU = F, где матричный K и правая сторона F содержат интегралы в терминах тестовых функций ϕ _i, ϕ _j и коэффициенты c, a, f, q и g, описывающий задачу. U вектора решения содержит коэффициенты расширения _uh, которые являются также значениями _uh в каждом узле _xk (k = 1,2 для 2D проблемы или k = 1,2,3 для 3-D проблемы) начиная с _uh (_xk) = _Ui.

Методы FEM также используются, чтобы решить более общие задачи, такие как:

Зависящие от времени проблемы. Решение u (x, t) уравнения
$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$
может быть аппроксимирован
$u_{h} (x, t) = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} (t) ϕ_{i} (x)$
Результатом является система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
$M \frac{d U}{d t} + K U = F$
В два раза производные приводят к ОДУ второго порядка
$M \frac{d^{2} U}{d t^{2}} + K U = F$
Задачи о собственных значениях. Решить
$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ d u$
для неизвестных u и λ, где λ является комплексным числом. Используя дискретизацию FEM, вы решаете алгебраическую задачу о собственных значениях KU = λ MU, чтобы найти _uh как приближение к u. Чтобы решить задачи о собственных значениях, используйте solvepdeeig.
Нелинейные проблемы. Если коэффициенты, c, a, f, q или g являются функциями u или ∇u, УЧП, называются нелинейные, и FEM дает к нелинейной системе K (U) U = F (U).

Подводя итоги, подход FEM:

Представляет исходную область проблемы как набор элементов.
Для каждого элемента, заменяет исходной проблемой УЧП набором простых уравнений, которые локально аппроксимируют исходные уравнения. Применяет граничные условия для контуров каждого элемента. Для стационарных линейных задач, где коэффициенты не зависят от решения или его градиента, результатом является линейная система уравнений. Для стационарных проблем, где коэффициенты зависят от решения или его градиента, результатом является система нелинейных уравнений. Для зависящих от времени проблем результатом является набор ОДУ.
Собирает получившиеся уравнения и граничные условия в глобальную систему уравнений, которая моделирует целую проблему.
Решает получившуюся систему алгебраических уравнений или ОДУ с помощью линейных решателей или численного интегрирования, соответственно. Тулбокс внутренне вызывает соответствующие решатели MATLAB^® для этой задачи.

Ссылки

[1] Приготовьте, Роберт Д., Дэвид С. Молкус и Майкл Э. Плеша. Концепции и Приложения Анализа конечных элементов. 3-й выпуск. Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1989.

[2] Гильберт Странг и Джордж Фикс. Анализ метода конечных элементов. 2-й выпуск. Веллесли, MA: Wellesley-Кембриджское Нажатие, 2008.

Документация

Основы метода конечных элементов

Ссылки

Смотрите также

Документация Partial Differential Equation Toolbox

Поддержка