rotz

Матрица вращения для вращений вокруг оси z

Синтаксис

Описание

пример

R = rotz(ang) создает 3х3 матрицу, используемую, чтобы вращать вектор 3 на 1 или 3 N матрицей векторов вокруг оси z ang степени. При действии на матрицу каждый столбец матрицы представляет различный вектор. Для матрицы вращения R и векторный v, вращаемый вектор дан R*v.

Примеры

свернуть все

Создайте матрицу для вращения вектора вокруг оси z на 45 °. Затем позвольте матрице работать с вектором.

R = rotz(45)
R = 3×3

    0.7071   -0.7071         0
    0.7071    0.7071         0
         0         0    1.0000

v = [1;-2;4];
y = R*v
y = 3×1

    2.1213
   -0.7071
    4.0000

При вращении вокруг оси z z-компонент вектора является инвариантным.

Входные параметры

свернуть все

Угол поворота, заданный как скаляр с действительным знаком. Угол поворота положителен, если вращение находится в направлении против часовой стрелки, когда просматривается наблюдателем, смотрящим вдоль оси z на источник. Угловые модули в градусах.

Пример: 45.0

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

3х3 матрица вращения возвращена как

Rz(γ)=[cosγsinγ0sinγcosγ0001]

для угла поворота γ.

Больше о

свернуть все

Матрицы вращения

Матрицы вращения используются, чтобы вращать вектор в новое направление.

В преобразовании векторов в 3-мерном пространстве часто сталкиваются с матрицами вращения. Матрицы вращения используются в двух смыслах: они могут использоваться, чтобы вращать вектор в новое положение, или они могут использоваться, чтобы вращать координатное основание (или система координат) в новую. В этом случае вектор оставлен в покое, но его компоненты в новом основании будут отличаться от тех в исходном основании. В Евклидово пространстве существует три основных вращения: один каждый вокруг x, y и осей z. Каждое вращение задано углом вращения. Угол поворота задан, чтобы быть положительным для вращения, которое является против часовой стрелки, когда просматривается наблюдателем, смотрящим вдоль оси вращения на источник. Любое произвольное вращение может состоять из комбинации этих трех (теорема вращения Эйлера). Например, можно вращать вектор в любом направлении с помощью последовательности трех вращений: v=Av=Rz(γ)Ry(β)Rx(α)v.

Матрицами вращения, которые вращают вектор вокруг x, y, и оси z, дают:

  • Против часовой стрелки вращение вокруг оси X

    Rx(α)=[1000cosαsinα0sinαcosα]

  • Против часовой стрелки вращение вокруг оси Y

    Ry(β)=[cosβ0sinβ010sinβ0cosβ]

  • Против часовой стрелки вращение вокруг оси z

    Rz(γ)=[cosγsinγ0sinγcosγ0001]

Следующие три рисунка показывают то, на что положительные вращения похожи для каждой оси вращения:

Для любого вращения существует обратное удовлетворение вращения A1A=1. Например, инверсия матрицы вращения оси X получена путем изменения знака угла:

Rx1(α)=Rx(α)=[1000cosαsinα0sinαcosα]=Rx(α)

Этот пример иллюстрирует основное свойство: обратная матрица вращения является транспонированием оригинала. Матрицы вращения удовлетворяют A’A = 1, и следовательно det(A) = 1. При вращениях длины вектора сохраняются, а также углы между векторами.

Мы можем думать о вращениях в другом отношении. Рассмотрите исходный набор базисных векторов, i,j,k, и вращайте их всех использование матрицы вращения A. Это производит новый набор базисных векторов i,j,k связанный с оригиналом:

i=Aij=Ajk=Ak

Используя транспонирование, можно записать новые базисные векторы как линейные комбинации старых базисных векторов:

[ijk]=A[ijk]

Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов:

v=vxi+vyj+vzk=vxi+vyj+vzk

Используя алгебраическую манипуляцию, можно вывести преобразование компонентов для фиксированного вектора, когда основание (или система координат) вращается. Это преобразование использует транспонирование матрицы вращения.

[vxvyvz]=A1[vxvyvz]=A[vxvyvz]

Следующая фигура иллюстрирует, как вектор преобразовывается, когда система координат вращается вокруг оси X. Рисунок после показывает, как это преобразование может быть интерпретировано как вращение вектора в противоположном направлении.

Ссылки

[1] Голдстайн, H. C. Пул и Й. Сафко, Классическая Механика, 3-й Выпуск, Сан-Франциско: Аддисон Уэсли, 2002, стр 142–144.

Расширенные возможности

Смотрите также

|

Введенный в R2013a

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте