Нормы и сингулярные значения

Для систем MIMO передаточные функции являются матрицами, и соответствующие меры усиления определяются сингулярными значениями, H _∞, и нормы _H2, которые определяются следующим образом:

_H2 и H _∞ нормы

_{Норма H2} является энергией импульсной характеристики объекта G. _-норма H является пиковым усилением G через все частоты и все входные направления.

Другой важной концепцией является понятие сингулярных значений.

Сингулярные значения:

Сингулярные значения ранга r матрица $A \in C^{m \times n}$ , обозначенный _σi, неотрицательные квадратные корни из собственных значений $A^{*} A$ упорядоченный таким образом, что σ ₁ ≥ σ ₂ ≥ ... ≥_σp > 0, p ≤ min {m, n}.

Если r <p затем существуют p – r нулевые сингулярные значения, т.е. σ _{r +1} = σ r +2 = ... =_σp = 0.

Самое большое сингулярное значение σ ₁ иногда обозначается

$\bar{σ} (A) ≜ σ_{1} .$

Когда A является квадратной n на n матрицей, затем энное сингулярное значение (т.е. наименьшее количество сингулярного значения) обозначаются

$\underline{σ} (A) ≜ σ_{n} .$

Свойства сингулярных значений

Некоторые полезные свойства сингулярных значений:

$\begin{array}{l} \bar{σ} (A) = \max_{x \in C^{h}} \frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖} \\ \underline{σ} (A) = \min_{x \in C^{h}} \frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖} \end{array}$

Эти свойства особенно важны, потому что они устанавливают, что самыми большими и наименьшим количеством сингулярных значений матрицы А являются максимальные и минимальные "усиления" матрицы, когда входной вектор x варьируется по всем возможным направлениям.

Для устойчивых систем LTI непрерывного времени G (s), _2-норма H и _-нормы H является заданными условиями зависимых частотой сингулярных значений G (jω):

_2-норма H:

${‖ G ‖}_{2} ≜ [\frac{1}{2 π}] \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{i = 1}^{p} {(σ_{i} (G (j ω)))}^{2} d ω$

_-норма H:

${‖ G ‖}_{\infty} ≜ \sup_{ω} \bar{σ} (G (j ω))$

где глоток обозначает наименьшее количество верхней границы.

Смотрите также

Интерпретация H-нормы-по-бесконечности

Документация Robust Control Toolbox

Поддержка

Памятка переводчика

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста - например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Документация