Нахождение решения x системы LMI
A (x) < 0 | (1) |
называется feasibility problem. Минимизация выпуклой цели при ограничениях LMI является также выпуклой проблемой. В частности, линейная объективная проблема минимизации:
Минимизируйте cTx, удовлетворяющий
A (x) < 0 | (2) |
играет важную роль в основанном на LMI проекте. Наконец, обобщенная проблема минимизации собственного значения
Минимизируйте λ, удовлетворяющий
(3) |
квазивыпукло и может быть решен подобными методами. Это должно свое имя к факту, который связан с самым большим обобщенным собственным значением карандаша ((x), B (x)).
Много проблем управления и технических требований проекта имеют формулировки LMI [9]. Это особенно верно для находящегося в Lyapunov анализа и проектирования, но также и для оптимального управления LQG, H ∞ управление, управление ковариацией, и т.д. Дальнейшие приложения LMIs возникают по оценке, идентификации, оптимальному проекту, проектированию конструкций [6], [7], матричным проблемам масштабирования, и так далее. Основная сила формулировок LMI является способностью объединить различные конструктивные ограничения или цели численно послушным способом.
Неисчерпывающий список проблем, решенных методами LMI, включает следующее:
Устойчивая устойчивость систем с неопределенностью LTI (µ-analysis) ([24], [21], [27])
Устойчивая устойчивость перед лицом ограниченной сектором нелинейности (критерий Попова) ([22], [28], [13], [16])
Квадратичная устойчивость дифференциальных включений ([15], [8])
Устойчивость Ляпунова зависимых параметром систем ([12])
Вход/состояние/выходные свойства систем LTI (инвариантные эллипсоиды, уровень затухания, и т.д.) ([9])
Проект обратной связи состояния мультимодели/мультиобъективный ([4], [17], [3], [9], [10])
Устойчивое размещение полюса
Оптимальное управление LQG ([9])
Проект устойчивых запланированных на усиление контроллеров ([5], [2])
Управление стохастических систем ([9])
Взвешенные проблемы интерполяции ([9])
Чтобы намекнуть на принципы, лежащие в основе проекта LMI, давайте рассмотрим формулировки LMI нескольких типичных целей проекта.
Устойчивость динамической системы
эквивалентно выполнимости следующей проблемы:
Найдите P = PT таким образом что AT P + P <0, P> я.
Это может быть обобщено к линейным дифференциальным включениям (LDI)
где (t) варьируется по выпуклому конверту набора моделей LTI:
Достаточное условие для асимптотической устойчивости этого LDI является выполнимостью
Найдите P = PT таким образом что .
Усиление случайных средних квадратичных (RMS) устойчивой системы LTI
самое большое усиление ввода/вывода по всем ограниченным входным параметрам u (t). Это усиление является глобальным минимумом следующей линейной объективной проблемы минимизации [1], [25], [26].
Минимизируйте γ более чем X = XT и γ, таким образом что
и
Для устойчивой системы LTI
где w является белым шумовым воздействием с модульной ковариацией, производительность LQG или H2 ∥G∥2 задана
Этому можно показать это
Следовательно глобальный минимум проблемы LMI. Минимизируйте Трассировку (Q) по симметричным матрицам P, Q, таким образом что
и
Снова это - линейная объективная проблема минимизации, поскольку объективная Трассировка (Q) линейна в переменных решения (свободные входы P, Q).