Переменные решатели шага в Simulink

Variable-step solvers варьируется размер шага во время симуляции, уменьшая размер шага, чтобы увеличить точность, когда состояния модели изменяются быстро и увеличивают размер шага, чтобы не делать ненужные шаги, когда состояния модели изменяются медленно. Вычисление размера шага добавляет к вычислительным издержкам на каждом шаге, но может сократить общее количество шагов, и следовательно время симуляции, требуемое обеспечить заданный уровень точности для моделей с быстрым изменением или кусочно-непрерывными состояниями.

Когда вы устанавливаете управление Типом панели настройки Решателя к Variable-step, управление Решателем позволяет вам выбирать один из решателей переменного шага. Как с решателями фиксированного шага, набор решателей переменного шага включает дискретный решатель и набор непрерывных решателей. Однако различающийся решатели фиксированного шага, размер шага варьируется динамически на основе локальной ошибки.

Выбор между двумя типами решателей переменного шага зависит от того, ли блоки в ваших состояниях модели define и, если так, тип состояний, которые они задают. Если ваша модель не задает состояний или задает только дискретные состояния, выберите дискретный решатель. Если модель имеет непрерывные состояния, непрерывные решатели используют численное интегрирование, чтобы вычислить значения непрерывных состояний на следующем временном шаге.

Примечание

Если модель не имеет никаких состояний или только дискретных состояний, Simulink® использует дискретный решатель, чтобы симулировать модель, даже если вы задаете непрерывный решатель.

Переменный шаг дискретный решатель

Используйте переменный шаг дискретный решатель, когда ваша модель не будет содержать непрерывные состояния. Для таких моделей переменный шаг дискретный решатель уменьшает свой размер шага для того, чтобы получить события модели, такие как нулевые пересечения и увеличивает размер шага, когда возможно улучшать производительность симуляции.

Показанная на рисунке модель содержит два дискретных синусоидальных сигнала в 0,5 и 0,75 шагах расчета. Графики ниже показа сигналы в модели наряду с решателем продвигаются для дискретного переменного шага и фиксированного шага дискретные решатели соответственно. Вы видите, что решатель переменного шага только предпринимает шаги, должен был записать выходной сигнал каждого блока. С другой стороны, решатель фиксированного шага должен будет симулировать с размером фиксированного шага — или основной шаг расчета — 0,25, чтобы записать все сигналы, таким образом делая больше шагов в целом.

Непрерывные решатели с переменным шагом

Решатели переменного шага динамически варьируются размер шага во время симуляции. Каждый из этих решателей увеличивает или уменьшает размер шага с помощью своего локального контроля ошибок, чтобы достигнуть допусков, которые вы задаете. Вычисление размера шага на каждом временном шаге добавляет к вычислительным издержкам. Однако это может сократить общее количество шагов и время симуляции, требуемое обеспечить заданный уровень точности.

Можно далее категоризировать непрерывные решатели с переменным шагом как один шаг или многоступенчатый, одноразрядный или переменный порядок, и явный или неявный. Смотрите Один Шаг По сравнению с Многоступенчатыми Непрерывными Решателями для получения дополнительной информации.

Переменный шаг непрерывные явные решатели

Переменный шаг явные решатели спроектирован для нежестких проблем. Simulink обеспечивает четыре таких решателя:

  • ode45

  • ode23

  • ode113

  • odeN

Решатель ОДУМетод с одним шагомМногоступенчатый методПорядок точностиМетод
ode45X НосительРунге-Кутта, Dormand-принц (4,5) пара
ode23X НизкоРунге-Кутта (2,3) пара Bogacki & Shampine
ode113 XПеременная, низко к высокоРеализация PECE Адамса-Бэшфорта-Маултона
odeNX Смотрите порядок точности на Фиксированном Шаге непрерывные явные решателиСмотрите метод интегрирования на Фиксированном Шаге непрерывные явные решатели

Решатель ОДУКогда использовать
ode45

В общем случае ode45 решатель является лучшим, чтобы применяться как первая попытка большинства проблем. Рунге-Кутта (4,5) решатель является методом пятого порядка, который выполняет оценку четвертого порядка ошибки. Этот решатель также использует четвертый порядок interpolant, который допускает местоположение события и более сглаженные графики.

Если ode45 является в вычислительном отношении медленным, проблема может быть жесткой и таким образом потребовать неявного решателя.

ode113

Для проблем со строгими ошибочными допусками или для в вычислительном отношении интенсивных проблем, решатель Адамса-Бэшфорта-Маултона PECE может быть более эффективным, чем ode45.

ode23

ode23 может быть более эффективным, чем ode45 решатель в допусках грубой ошибки и в присутствии умеренной жесткости. Этот решатель предоставляет точные решения путем применения кубической интерполяции Эрмита к значениям и наклонам, вычисленным в концах шага.

odeNodeN решатель использует неадаптивное интегрирование Рунге-Кутта, порядок которого определяется параметром Solver order. odeN использует фиксированный размер шага, определенный параметром Max step size, но размер шага может уменьшаться, чтобы получить определенные события решателя, такие как нулевые пересечения и дискретные демонстрационные хиты..

Примечание

Выберите odeN решатель, когда скорость симуляции важна, например, когда

  • Модель содержит много сброса решателя и/или нулевых пересечений

  • Solver Profiler не обнаруживает не пройдено шагов при профилировании модели

Переменный шаг непрерывные неявные решатели

Если ваша проблема жестка, попытайтесь использовать один из переменного шага неявные решатели:

  • ode15s

  • ode23s

  • ode23t

  • ode23tb

Решатель ОДУМетод с одним шагомМногоступенчатый методПорядок точностиМетод сброса решателя'MaxOrder' Метод
ode15s XПеременный, низкий и среднийXXЧисловые формулы дифференцирования (NDFs)
ode23sX Низко  Модифицированная формула Розенброка второго порядка
ode23tX НизкоX Метод трапеций с помощью interpolant
ode23tbX НизкоX TR-BDF2

Метод сброса решателя

Для ode15sode23t, и ode23tb выпадающее меню для Solver reset method появляется в разделе Solver details панели Настройки. Этот параметр управляет, как решатель обрабатывает вызванный сброс, например, обнаружением пересечения нулем. Позволенными опциями является Fast и Robust. Fast указывает, что решатель не повторно вычисляет якобиан для сброса решателя, тогда как Robust указывает, что решатель делает. Следовательно, Fast установка в вычислительном отношении быстрее, но она может использовать размер небольшого шага в определенных случаях. Чтобы протестировать на такие случаи, запустите симуляцию с каждой установкой и сравните результаты. Если нет никакого различия в результатах, можно безопасно использовать Fast установка и экономит время. Если результаты значительно отличаются, попытайтесь уменьшать размер шага для быстрой симуляции.

Максимальный порядок

Для ode15s решатель, можно выбрать максимальный порядок числовых формул дифференцирования (NDFs), который применяет решатель. Начиная с ode15s использование сначала - через формулы пятого порядка, Maximum order параметр позволяет вам выбирать порядки 1 - 5. Для жесткой проблемы можно хотеть запуститься с порядка 2.

Советы для выбора Переменного Шага неявный решатель

Следующая таблица обеспечивает советы для приложения переменного шага неявные решатели. Для примера, сравнивающего поведение этих решателей, смотрите, что Решатели Переменного Шага Исследования Используют Жесткую Модель.

Решатель ОДУСоветы на том, когда использовать
ode15s

ode15s решатель переменного порядка на основе числовых формул дифференцирования (NDFs). NDFs связаны с, но более эффективны, чем формулы дифференцирования назад (BDF), которые также известны как метод Гира. ode15s решатель численно генерирует якобиевские матрицы. Если вы подозреваете, что проблема жестка, или если ode45 отказавший или было очень неэффективно, попробуйте ode15s. Как правило, запустите путем ограничения максимального порядка NDFs к 2.

ode23s

ode23s основан на модифицированной формуле Розенброка порядка 2. Поскольку это - решатель с одним шагом, это может быть более эффективно, чем ode15s в грубых допусках. Как ode15sode23s численно генерирует якобиевскую матрицу для вас. Однако это может решить определенные виды жестких проблем для который ode15s не является эффективным.

ode23t

ode23t решатель является реализацией метода трапеций с помощью “свободного” interpolant. Используйте этот решатель, если ваша модель только умеренно жестка, и вам нужно решение без числового затухания. (Энергия не рассеивается, когда вы моделируете колебательное движение.)

ode23tb

ode23tb реализация TR-BDF2, неявной формулы Рунге-Кутта с двумя этапами. Первая стадия является шагом метода трапеций, в то время как второй этап использует формулу дифференцирования назад порядка 2. Конструкцией метод использует ту же матрицу итерации в оценке обоих этапов. Как ode23s, этот решатель может быть более эффективным, чем ode15s в грубых допусках.

Примечание

Для жесткой проблемы решения могут измениться на масштабе времени, который очень мал по сравнению с интервалом интегрирования, в то время как решение интереса изменяется на намного более длительном масштабе времени. Методы, которые не спроектированы для жестких проблем, неэффективны на интервалах, где решение медленно изменяется, потому что эти методы используют временные шаги, достаточно маленькие, чтобы разрешить самое быстрое изменение. Для получения дополнительной информации смотрите Шемпина, L. F. Числовое Решение Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall, 1994.

Ошибочные допуски к решателям Переменного Шага

Локальная ошибка

Решатели переменного шага используют стандартные методы управления, чтобы контролировать локальную ошибку на каждом временном шаге. Во время каждого временного шага решатели вычисляют значения состояния в конце шага и определяют локальную ошибку — предполагаемая ошибка этих значений состояния. Они затем сравнивают локальную ошибку с приемлемой ошибкой, которая является функцией и относительного допуска (rtol) и абсолютного допуска (атолл). Если локальная ошибка больше приемлемой ошибки для какого-либо состояния, решатель уменьшает размер шага и попробовал еще раз.

  • Relative tolerance измеряет ошибку относительно размера каждого состояния. Относительный допуск представляет процент значения состояния. Значение по умолчанию, 1e-3, означает, что вычисленное состояние точно в пределах 0,1%.

  • Absolute tolerance является пороговым ошибочным значением. Этот допуск представляет приемлемую ошибку как значение измеренного нуля подходов состояния.

    Решатели требуют ошибки для iсостояние th, ei, чтобы удовлетворить:

    eimax(rtol×|xi|,atoli).

Следующий рисунок показывает график состояния и областей, в которых относительный допуск и абсолютный допуск определяют приемлемую ошибку.

Абсолютные допуски

Ваша модель имеет глобальную абсолютную погрешность, которую можно установить на панели Решателя диалогового окна Configuration Parameters. Этот допуск применяется ко всем состояниям в модели. Можно задать auto или действительный скаляр. Если вы задаете auto (значение по умолчанию), Simulink первоначально устанавливает абсолютную погрешность для каждого состояния на основе относительного допуска. Если относительный допуск является большим 1e-3, abstol инициализируется в 1e-6. Однако для reltol меньший, чем 1e-3, abstol поскольку состояние инициализируется в reltol * 1e-3. В то время как симуляция прогрессирует, абсолютный допуск к каждому состоянию сброс к максимальному значению, которое состояние приняло до сих пор, времена относительный допуск к тому состоянию. Таким образом, если изменения состояния от 0 до 1 и reltol 1e-3, abstol инициализирует в 1e-6, и к концу симуляции достигает 1e-3 также. Если состояние идет от 0 до 1 000, то abstol изменения в 1.

Теперь, если изменения состояния от 0 до 1 и reltol установлен в 1e-4, затем abstol инициализирует в 1e-7, и к концу симуляции достигает значения 1e-4.

Если вычисленное начальное значение для абсолютного допуска не подходит, можно определить соответствующее значение сами. Вам придется запустить симуляцию несколько раз, чтобы определить соответствующее значение для абсолютного допуска. Можно также задать, должен ли абсолютный допуск адаптироваться так же к его auto установка путем включения или отключения AutoScaleAbsTol параметр. Для получения дополнительной информации смотрите Автоматическую шкалу абсолютный допуск.

Несколько блоков позволяют вам указывать, что абсолютные значения допуска для решения модели утверждают, что они вычисляют или которые определяют их выход:

Абсолютные значения допуска, которые вы задаете для этих блоков, заменяют глобальные настройки в диалоговом окне Configuration Parameters. Вы можете хотеть заменить глобальную установку, если, например, глобальная установка не обеспечивает достаточный контроль ошибок для всех ваших состояний модели, потому что они значительно различаются в величине. Можно установить блок абсолютный допуск на:

  • auto

  • –1 (тот же as auto)

  • positive scalar

  • real vector (наличие размерности равняется количеству соответствующих непрерывных состояний в блоке),

Советы

Если вы действительно принимаете решение установить абсолютную погрешность, иметь в виду, что слишком низко значения заставляет решатель делать слишком много шагов около значений почти нулевого состояния. В результате симуляция медленнее.

С другой стороны, если вы устанавливаете абсолютную погрешность слишком высоко, ваши результаты могут быть неточными как одно или несколько непрерывных состояний в вашем нуле подхода модели.

Если симуляция завершена, можно проверить точность результатов путем сокращения абсолютного допуска и выполнения симуляции снова. Если результаты этих двух симуляций удовлетворительно близки, то можно чувствовать себя уверенно в их точности.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте