Cox пропорциональная модель опасностей

Введение

Cox пропорциональная регрессия опасностей является полупараметрическим методом для корректировки оценок выживаемости, чтобы определить количество эффекта переменных предикторов. Метод представляет эффекты объясняющих переменных как множитель общей базовой функции опасности, h ₀ (t). Функция опасности является непараметрической частью Cox пропорциональная функция регрессии опасностей, тогда как удар переменных предикторов является логлинейной регрессией. Для базовой линии относительно 0, эта модель соответствует

$h (X_{i}, t) = h_{0} (t) \exp [\sum_{j = 1}^{p} x_{i j} b_{j}],$

где $X_{i} = (x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{i p})$ переменный предиктор для i th предмет, h (X _i, t) является показателем риска во время t для X _i, и h ₀ (t) является базовой функцией показателя риска.

Отношение опасности

Cox пропорциональная модель опасностей связывает показатель риска для индивидуумов или элементов в значении X _i к показателю риска для индивидуумов или элементов в базовом значении. Это производит оценку для отношения опасности:

$H R (X_{i}) = \frac{h (X_{i}, t)}{h_{0} (t)} = \exp [\sum_{j = 1}^{p} x_{i j} b_{j}] .$

Модель основана на предположении, что базовая функция опасности зависит вовремя, t, но переменные предикторы не делают. Это предположение также называется пропорциональным предположением опасностей, которое утверждает, что отношение опасности не изменяется в зависимости от времени ни для какого индивидуума.

Отношение опасности представляет относительный риск мгновенного отказа для индивидуумов или элементов, имеющих прогнозирующее значение переменных X _i по сравнению с теми имеющими базовые значения. Например, если прогнозирующая переменная курит состояние, где для некурящих базовая категория, отношение опасности показывает относительную мгновенную интенсивность отказов курильщиков по сравнению с базовой категорией, то есть, некурящих. Для базовой линии относительно X^* и значение переменного предиктора X _i, отношение опасности

$H R (X_{i}) = \frac{h (X_{i}, t)}{h (X^{*}, t)} = \exp [\sum_{j = 1}^{p} (x_{i j} - x_{j}^{*}) b_{j}] .$

Например, если базовая линия является средними значениями переменных предикторов (mean(X)), затем отношение опасности становится

$H R (X_{i}) = \frac{h (X_{i}, t)}{h (\bar{X}, t)} = \exp [\sum_{j = 1}^{p} (x_{i j} - {\bar{x}}_{j}) b_{j}] .$

Показатели риска связаны с коэффициентами выживаемости, такими, что выживаемость во время t для индивидуума со значением объясняющей переменной X _i

$S_{X_{i}} (t) = S_{0} {(t)}^{H R (X_{i})},$

где S ₀ (t) является функцией оставшегося в живых с базовой функцией показателя риска h ₀ (t), и HR (X _i) является отношением опасности значения переменного предиктора X _i относительно базового значения.

Расширение Cox пропорциональная модель опасностей

Когда у вас есть переменные, которые не удовлетворяют предположению пропорциональных опасностей (PH), можно рассмотреть использование двух расширений Cox пропорциональная модель опасностей: стратифицированная модель Cox и модель Cox с зависящими от времени переменными.

Если переменные, которые не удовлетворяют предположению PH, categorizable, используйте стратифицированную модель Cox:

$h_{s} (X_{i}, t) = h_{0 s} (t) \exp [\sum_{j = 1}^{p} x_{i j} b_{j}],$

где индекс s указывает на s th слой. Стратифицированная модель Cox имеет различную базовую функцию показателя риска для каждого слоя, но совместно использует коэффициенты. Поэтому это имеет то же отношение опасности через все слои, если значения переменного предиктора являются тем же самым. Можно включать переменные стратификации в coxphfit при помощи пары "имя-значение" 'Strata'.

Если переменные, которые не удовлетворяют предположению PH, являются зависящими от времени переменными, используйте модель Cox с зависящими от времени переменными:

$h (X_{i}, t) = h_{0} (t) \exp [\sum_{j = 1}^{p_{1}} x_{i j} b_{j} + \sum_{k = 1}^{p_{2}} x_{i k} (t) c_{k}],$

где x_{, ij} является элементом независимого от времени предиктора и x _ik (t), является элементом зависящего от времени предиктора. Для примера того, как включать зависящие от времени переменные в coxphfit, смотрите Cox Пропорциональная Модель Опасностей с Зависящими от времени Ковариантами.

Частичная функция правдоподобия

Точечная оценка эффекта каждой объясняющей переменной, то есть, предполагаемое отношение опасности для эффекта каждой объясняющей переменной является exp (b), учитывая все другие переменные считаются постоянными, где b является содействующей оценкой для той переменной. Содействующие оценки найдены путем максимизации частичной функции правдоподобия модели. Частичная функция правдоподобия для пропорциональной модели регрессии опасностей основана на наблюдаемом порядке событий. Это - продукт частичных вероятностей отказов, оцененных в течение каждого раза отказа. Если существуют отказы n в n отличные времена отказа, $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ , затем частичная вероятность

$L = \frac{H R (X_{1})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{2})}{\sum_{j = 2}^{n} H R (X_{j})} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{H R (X_{n})}{H R (X_{n})} = \prod_{i = 1}^{n} \frac{H R (X_{i})}{\sum_{j = i}^{n} H R (X_{j})} .$

Можно переписать частичную вероятность при помощи набора риска R _i:

$L = \prod_{i = 1}^{n} \frac{H R (X_{i})}{\sum_{j \in R_{i}} H R (X_{j})},$

где R_{, i} представляет набор индекса предметов, кто является объектом исследования, но не испытывает событие до i th время отказа.

Можно использовать тест отношения правдоподобия, чтобы оценить значение добавления термина или условий в модели. Рассмотрите две модели, где первая модель имеет p, прогнозирующие переменные и вторая модель имеют p + r прогнозирующие переменные. Затем сравнение этих двух моделей, –2* (L_1/L2) имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы r (количество протестированных условий).

Частичная функция правдоподобия для связанных Событий

Когда вы связали события, coxphfit аппроксимирует частичную вероятность модели или методом Бреслоу (значение по умолчанию) или методом Эфрона, вместо того, чтобы вычислить точную частичную вероятность. Вычисление точной частичной вероятности требует большого объема расчета, который включает целое сочетание наборов риска в течение связанных времен события.

Самый простой метод приближения является методом Бреслоу. Этот метод использует тот же знаменатель в каждом связанном наборе.

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R (X_{j})}{\sum_{k \in R_{i}} H R (X_{k})},$

где d является номером отличных времен события и D_{, i} является набором индекса всех предметов, время события которых равно i th время события.

Метод Эфрона более точен, чем метод Бреслоу, все же прост. Этот метод настраивает знаменатель связанных событий можно следующим образом:

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R (X_{j})}{\sum_{k \in R_{i}} H R (X_{k}) - \frac{j - 1}{d_{i}} \sum_{k \in D_{i}} H R (X_{k})},$

где d _i является количеством индексов в D _i.

Для примера примите, что первые два события связываются, то есть, t ₁ = t ₂ и $t_{2} < t_{3} < \dots < t_{n}$ . В методе Бреслоу знаменатели первых двух сроков являются тем же самым:

$L = \frac{H R (X_{1})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{2})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{3})}{\sum_{j = 3}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{4})}{\sum_{j = 4}^{n} H R (X_{j})} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{H R (X_{n})}{H R (X_{n})} .$

Метод Эфрона настраивает знаменатель второго срока:

$L = \frac{H R (X_{1})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{2})}{0.5 H R (X_{1}) + 0.5 H R (X_{2}) + \sum_{j = 3}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{3})}{\sum_{j = 3}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{4})}{\sum_{j = 4}^{n} H R (X_{j})} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{H R (X_{n}, t_{n})}{H R (X_{n}, t_{n})} .$

Можно задать метод приближения при помощи пары "имя-значение" 'Ties' в coxphfit.

Частота или веса наблюдений

Cox пропорциональная модель опасностей может соединиться с частотой или весами наблюдений. Позвольте w _i быть весом i th наблюдение. Затем частичные вероятности модели Cox с весами становятся можно следующим образом:

Частичная вероятность с весами

$L = \prod_{i = 1}^{n} \frac{H R_{w} (X_{i})}{\sum_{j \in R_{i}} w_{j} H R (X_{j})},$
где

$H R_{w} (X_{i}) = \exp [\sum_{j = 1}^{p} w_{j} x_{i j} b_{j}] .$
Частичная вероятность с весами и методом Бреслоу

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R_{w} (X_{j})}{{[\sum_{k \in R_{i}} w_{k} H R (X_{k})]}^{\frac{1}{d_{i}} \sum_{j \in D_{i}} w_{j}}}$
Частичная вероятность с весами и методом Эфрона

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R_{w} (X_{j})}{{[\sum_{k \in R_{i}} w_{k} H R (X_{k}) - \frac{j - 1}{d_{i}} \sum_{k \in D_{i}} w_{k} H R (X_{k})]}^{\frac{1}{d_{i}} \sum_{j \in D_{i}} w_{j}}}$

Можно задать частоту или веса наблюдений при помощи пары "имя-значение" 'Frequency' в coxphfit.

Ссылки

[1] Cox, D. R. и Д. Оукс. Анализ данных о выживании. Лондон: Chapman & Hall, 1984.

[2] Беззаконный, J. F. Статистические модели и методы для пожизненных данных. Хобокен, NJ: Wiley-межнаука, 2002.

[3] Kleinbaum, D. G. и М. Клейн. Анализ выживания. Статистика для Биологии и здоровья. 2-й выпуск. Спрингер, 2005.

[4] Клейн, J. P. и М. Л. Мешбергер. Анализ выживания. Статистика для Биологии и здоровья. 2-й выпуск. Спрингер, 2003.

Смотрите также

coxphfit | ecdf | ksdensity

Документация