Гармонический анализ передаточной функции Выход

Этот пример извлекает решения закрытой формы для коэффициентов частот в выходном сигнале. Результаты выходного сигнала передачи входа через аналитическую нелинейную передаточную функцию.

Этот пример использует следующие возможности Symbolic Math Toolbox™:

Мотивация

Чтобы мотивировать решение, мы берем простой элемент из теории схемы: идеальный диод (в операции прямого смещения). Ток, I, выход, который зависит экспоненциально от входа, V. Диоды нашли использование в создании устройств, таких как микшеры и усилители, где понимание гармонической структуры выхода может быть полезным в охарактеризовании устройства и соблюдении технических требований проекта.

syms Is V Vo real;
I = Is*(exp(V/Vo) - 1)
I = IseV/Vo-1* (exp (V/Vo) - 1)

Если V будет линейная комбинация 2 сигналов в LO частот и РФ, нелинейная передаточная функция смешает LO и РФ, чтобы создать выход с содержимым в комбинаторных гармонических комбинациях частоты: freqs = {LO, 2LO, РФ, 2RF, LO-RF, LO-2RF...}.

Цель этого примера состоит в том, чтобы определить коэффициенты freqs в выходе.

Задайте входной сигнал

Входной сигнал является линейной комбинацией двух сигналов косинуса.

syms c1 c2 t LO RF real;
input = c1*cos(LO*t) + c2*cos(RF*t)
input = c1cos(LOt)+c2cos(RFt)c1*cos (LO*t) + c2*cos (RF*t)

Задайте пробел гармонических комбинаций частоты

Ниже, harmCombinations комбинаторная комбинация целочисленных множителей входных частот LO и RF. Мы ограничиваем пробел интереса, заданного 3 гармониками каждый в LO и RF направления.

n = 3;
harmCombinations = [kron((0:n)',ones(n*2+1,1)),repmat((-n:n)',n+1,1)];
freqs = harmCombinations*[LO;RF];

Первый n частоты являются только отрицательными гармоническими частотами и являются поэтому избыточным рассмотрением, что входной сигнал действителен.

freqs = freqs(n+1:end)
freqs = 

(0RF2RF3RFLO-3RFLO-2RFLO-RFLOLO+RFLO+2RFLO+3RF2LO-3RF2LO-2RF2LO-RF2LO2LO+RF2LO+2RF2LO+3RF3LO-3RF3LO-2RF3LO-RF3LO3LO+RF3LO+2RF3LO+3RF)[sym (0); РФ; 2*RF; 3*RF; LO - 3*RF; LO - 2*RF; LO - РФ; LO; LO + РФ; LO + 2*RF; LO + 3*RF; 2*LO - 3*RF; 2*LO - 2*RF; 2*LO - РФ; 2*LO; 2*LO + РФ; 2*LO + 2*RF; 2*LO + 3*RF; 3*LO - 3*RF; 3*LO - 2*RF; 3*LO - РФ; 3*LO; 3*LO + РФ; 3*LO + 2*RF; 3*LO + 3*RF]

Разложение Тейлора

Покрывать спектр частоты интереса, Ряд Тейлора порядка четыре для I(V) достаточно.

s = taylor(I, V, 'Order', 4)
s = 

IsV22Vo2+IsV36Vo3+IsVVo(Is*V^2) / (2*Vo^2) + (Is*V^3) / (6*Vo^3) + (Is*V)/Vo

Используйте комбинацию входного сигнала LO и RF частоты и специальный f в терминах cos(LO*t) и cos(RF*t).

f0 = subs(s, V, input);
f = expand(f0)
f = 

Isc12σ22Vo2+Isc13cos(LOt)36Vo3+Isc22σ12Vo2+Isc23cos(RFt)36Vo3+Isc1cos(LOt)Vo+Isc2cos(RFt)Vo+Isc1c2cos(LOt)cos(RFt)Vo2+Isc1c22cos(LOt)σ12Vo3+Isc12c2σ2cos(RFt)2Vo3where  σ1=cos(RFt)2  σ2=cos(LOt)2(Is*c1^2*cos (LO*t) ^2) / (2*Vo^2) + (Is*c1^3*cos (LO*t) ^3) / (6*Vo^3) + (Is*c2^2*cos (RF*t) ^2) / (2*Vo^2) + (Is*c2^3*cos (RF*t) ^3) / (6*Vo^3) + (Is*c1*cos (LO*t))/Vo + (Is*c2*cos (RF*t))/Vo + (Is*c1*c2*cos (LO*t) *cos (RF*t))/Vo^2 + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t) *cos (RF*t) ^2) / (2*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (LO*t) ^2*cos (RF*t)) / (2*Vo^3)

Перепишите f в терминах одной степеней косинусов.

f = combine(f, 'sincos')
f = 

Isc124Vo2+Isc224Vo2+Isc1cos(LOt)Vo+Isc2cos(RFt)Vo+Isc12cos(2LOt)4Vo2+Isc13cos(LOt)8Vo3+Isc13cos(3LOt)24Vo3+Isc22cos(2RFt)4Vo2+Isc23cos(RFt)8Vo3+Isc23cos(3RFt)24Vo3+Isc1c22cos(LOt)4Vo3+Isc12c2cos(RFt)4Vo3+Isc1c2cos(LOt+RFt)2Vo2+Isc1c2cos(LOt-RFt)2Vo2+Isc1c22cos(LOt-2RFt)8Vo3+Isc1c22cos(LOt+2RFt)8Vo3+Isc12c2cos(2LOt+RFt)8Vo3+Isc12c2cos(2LOt-RFt)8Vo3(Is*c1^2) / (4*Vo^2) + (Is*c2^2) / (4*Vo^2) + (Is*c1*cos (LO*t))/Vo + (Is*c2*cos (RF*t))/Vo + (Is*c1^2*cos (2*LO*t)) / (4*Vo^2) + (Is*c1^3*cos (LO*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1^3*cos (3*LO*t)) / (24*Vo^3) + (Is*c2^2*cos (2*RF*t)) / (4*Vo^2) + (Is*c2^3*cos (RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c2^3*cos (3*RF*t)) / (24*Vo^3) + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t)) / (4*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (RF*t)) / (4*Vo^3) + (Is*c1*c2*cos (LO*t + RF*t)) / (2*Vo^2) + (Is*c1*c2*cos (LO*t - RF*t)) / (2*Vo^2) + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t - 2*RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t + 2*RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (2*LO*t + RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (2*LO*t - RF*t)) / (8*Vo^3)

Извлеките и отобразите коэффициенты

Получите непостоянное т.е. условия частоты гармоники неDC формы cos(freq*t).

cosFreqs = cos(expand(freqs*t));
terms = collect(setdiff(cosFreqs', sym(1)));

Извлеките коэффициенты для всех гармонических условий частоты включая DC.

newvars = sym('x', [1,numel(terms)]);
[cx, newvarsx] = coeffs(subs(f,terms,newvars), newvars);
tx = sym(zeros(1,numel(cx)));
for k=1:numel(newvarsx)
    if newvarsx(k) ~= 1
        tx(k) = terms(newvars == newvarsx(k));
    else
        tx(k) = newvarsx(k);
    end
end
cx = simplify(cx);

Отобразите содействующую таблицу использования, T. Используйте cosFreqs как идентификатор строки.

cosFreqs = arrayfun(@char,cosFreqs,'UniformOutput',false);
Frequencies = arrayfun(@char,freqs,'UniformOutput',false);
Coefficients = num2cell(zeros(size(freqs)));
T = table(Frequencies,Coefficients,'RowNames',cosFreqs);

Присвойте cx к соответствующим строкам T соответствие условиям косинуса tx.

nonzeroCosFreqs = arrayfun(@char,tx,'UniformOutput',false).';
T(nonzeroCosFreqs,'Coefficients') = arrayfun(@char,cx,'UniformOutput',false).';

Теперь удалите имена строки, когда они избыточны.

T.Properties.RowNames = {};

Заметьте, что выражения для условий симметричны в LO и РФ.

T
T=25×2 table
      Frequencies                      Coefficients                 
    _______________    _____________________________________________

    {'0'          }    {'(Is*(c1^2 + c2^2))/(4*Vo^2)'              }
    {'RF'         }    {'(Is*c2*(8*Vo^2 + 2*c1^2 + c2^2))/(8*Vo^3)'}
    {'2*RF'       }    {'(Is*c2^2)/(4*Vo^2)'                       }
    {'3*RF'       }    {'(Is*c2^3)/(24*Vo^3)'                      }
    {'LO - 3*RF'  }    {[                                        0]}
    {'LO - 2*RF'  }    {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'LO - RF'    }    {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      }
    {'LO'         }    {'(Is*c1*(8*Vo^2 + c1^2 + 2*c2^2))/(8*Vo^3)'}
    {'LO + RF'    }    {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      }
    {'LO + 2*RF'  }    {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'LO + 3*RF'  }    {[                                        0]}
    {'2*LO - 3*RF'}    {[                                        0]}
    {'2*LO - 2*RF'}    {[                                        0]}
    {'2*LO - RF'  }    {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'2*LO'       }    {'(Is*c1^2)/(4*Vo^2)'                       }
    {'2*LO + RF'  }    {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    }
      ⋮

Проверьте коэффициенты

Как показано ниже, выходная форма волны восстановлена от коэффициентов и имеет точное совпадение с выходом.

simplify(f0 - (dot(tx,cx)))
ans = 0sym (0)

Постройте нелинейную передачу

Следующее показывает конкретную нелинейную передаточную функцию, анализируемую выше, во временном и частотном диапазоне, для определенных значений отношений напряжения и частот. Во-первых, извлеките данные.

sample_values = struct('c1',0.4,'c2',1,'LO',800,'RF',13600,'Vo',1,'Is',1);
sample_input = subs(input,sample_values)
sample_input = 

2cos(800t)5+cos(13600t)(2*cos (800*t))/5 + because(13600*t)

sample_output = subs(f,sample_values)
sample_output = 

127cos(800t)250+cos(1600t)25+cos(2400t)375+cos(12000t)50+cos(12800t)5+233cos(13600t)200+cos(14400t)5+cos(15200t)50+cos(26400t)20+cos(27200t)4+cos(28000t)20+cos(40800t)24+29100(127*cos (800*t))/250 + because(1600*t)/25 + because(2400*t)/375 + because(12000*t)/50 + because(12800*t)/5 + (233*cos (13600*t))/200 + because(14400*t)/5 + because(15200*t)/50 + because(26400*t)/20 + because(27200*t)/4 + because(28000*t)/20 + because(40800*t)/24 + sym (29/100)

sample_freqs = zeros(size(tx));
for k=1:numel(tx)
    cosTerm = subs(tx(k),sample_values);
    freq = simplify(acos(cosTerm),'IgnoreAnalyticConstraints',true)/t;
    sample_freqs(k) = double(freq);
end
sample_heights = double(subs(cx,sample_values));

Затем используйте fplot и stem построить функции и их гармонические частоты.

subplot(2,2,1);
fplot(sample_input,[0,0.01])
title Input
subplot(2,2,3);
stem([sample_values.LO, sample_values.RF],[sample_values.c1,sample_values.c2]);
title 'Input Frequencies'

subplot(2,2,2);
fplot(sample_output,[0,0.01])
title Output
subplot(2,2,4);
stem(sample_freqs,sample_heights)
title 'Output Frequencies'

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте