Этот пример извлекает решения закрытой формы для коэффициентов частот в выходном сигнале. Результаты выходного сигнала передачи входа через аналитическую нелинейную передаточную функцию.
Этот пример использует следующие возможности Symbolic Math Toolbox™:
Расширение ряда Тейлора с помощью taylor
Чтобы мотивировать решение, мы берем простой элемент из теории схемы: идеальный диод (в операции прямого смещения). Ток, I
, выход, который зависит экспоненциально от входа, V
. Диоды нашли использование в создании устройств, таких как микшеры и усилители, где понимание гармонической структуры выхода может быть полезным в охарактеризовании устройства и соблюдении технических требований проекта.
syms Is V Vo real; I = Is*(exp(V/Vo) - 1)
I =
Если V будет линейная комбинация 2 сигналов в LO частот и РФ, нелинейная передаточная функция смешает LO и РФ, чтобы создать выход с содержимым в комбинаторных гармонических комбинациях частоты: freqs = {LO, 2LO, РФ, 2RF, LO-RF, LO-2RF...}.
Цель этого примера состоит в том, чтобы определить коэффициенты freqs
в выходе.
Входной сигнал является линейной комбинацией двух сигналов косинуса.
syms c1 c2 t LO RF real; input = c1*cos(LO*t) + c2*cos(RF*t)
input =
Ниже, harmCombinations
комбинаторная комбинация целочисленных множителей входных частот LO
и RF
. Мы ограничиваем пробел интереса, заданного 3 гармониками каждый в LO
и RF
направления.
n = 3; harmCombinations = [kron((0:n)',ones(n*2+1,1)),repmat((-n:n)',n+1,1)]; freqs = harmCombinations*[LO;RF];
Первый n
частоты являются только отрицательными гармоническими частотами и являются поэтому избыточным рассмотрением, что входной сигнал действителен.
freqs = freqs(n+1:end)
freqs =
Покрывать спектр частоты интереса, Ряд Тейлора порядка четыре для I(V)
достаточно.
s = taylor(I, V, 'Order', 4)
s =
Используйте комбинацию входного сигнала LO
и RF
частоты и специальный f
в терминах cos(LO*t)
и cos(RF*t)
.
f0 = subs(s, V, input); f = expand(f0)
f =
Перепишите f
в терминах одной степеней косинусов.
f = combine(f, 'sincos')
f =
Получите непостоянное т.е. условия частоты гармоники неDC формы cos(freq*t)
.
cosFreqs = cos(expand(freqs*t)); terms = collect(setdiff(cosFreqs', sym(1)));
Извлеките коэффициенты для всех гармонических условий частоты включая DC.
newvars = sym('x', [1,numel(terms)]); [cx, newvarsx] = coeffs(subs(f,terms,newvars), newvars); tx = sym(zeros(1,numel(cx))); for k=1:numel(newvarsx) if newvarsx(k) ~= 1 tx(k) = terms(newvars == newvarsx(k)); else tx(k) = newvarsx(k); end end cx = simplify(cx);
Отобразите содействующую таблицу использования, T
. Используйте cosFreqs
как идентификатор строки.
cosFreqs = arrayfun(@char,cosFreqs,'UniformOutput',false); Frequencies = arrayfun(@char,freqs,'UniformOutput',false); Coefficients = num2cell(zeros(size(freqs))); T = table(Frequencies,Coefficients,'RowNames',cosFreqs);
Присвойте cx
к соответствующим строкам T
соответствие условиям косинуса tx
.
nonzeroCosFreqs = arrayfun(@char,tx,'UniformOutput',false).'; T(nonzeroCosFreqs,'Coefficients') = arrayfun(@char,cx,'UniformOutput',false).';
Теперь удалите имена строки, когда они избыточны.
T.Properties.RowNames = {};
Заметьте, что выражения для условий симметричны в LO и РФ.
T
T=25×2 table
Frequencies Coefficients
_______________ _____________________________________________
{'0' } {'(Is*(c1^2 + c2^2))/(4*Vo^2)' }
{'RF' } {'(Is*c2*(8*Vo^2 + 2*c1^2 + c2^2))/(8*Vo^3)'}
{'2*RF' } {'(Is*c2^2)/(4*Vo^2)' }
{'3*RF' } {'(Is*c2^3)/(24*Vo^3)' }
{'LO - 3*RF' } {[ 0]}
{'LO - 2*RF' } {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)' }
{'LO - RF' } {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)' }
{'LO' } {'(Is*c1*(8*Vo^2 + c1^2 + 2*c2^2))/(8*Vo^3)'}
{'LO + RF' } {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)' }
{'LO + 2*RF' } {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)' }
{'LO + 3*RF' } {[ 0]}
{'2*LO - 3*RF'} {[ 0]}
{'2*LO - 2*RF'} {[ 0]}
{'2*LO - RF' } {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)' }
{'2*LO' } {'(Is*c1^2)/(4*Vo^2)' }
{'2*LO + RF' } {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)' }
⋮
Как показано ниже, выходная форма волны восстановлена от коэффициентов и имеет точное совпадение с выходом.
simplify(f0 - (dot(tx,cx)))
ans =
Следующее показывает конкретную нелинейную передаточную функцию, анализируемую выше, во временном и частотном диапазоне, для определенных значений отношений напряжения и частот. Во-первых, извлеките данные.
sample_values = struct('c1',0.4,'c2',1,'LO',800,'RF',13600,'Vo',1,'Is',1); sample_input = subs(input,sample_values)
sample_input =
sample_output = subs(f,sample_values)
sample_output =
sample_freqs = zeros(size(tx)); for k=1:numel(tx) cosTerm = subs(tx(k),sample_values); freq = simplify(acos(cosTerm),'IgnoreAnalyticConstraints',true)/t; sample_freqs(k) = double(freq); end sample_heights = double(subs(cx,sample_values));
Затем используйте fplot
и stem
построить функции и их гармонические частоты.
subplot(2,2,1); fplot(sample_input,[0,0.01]) title Input subplot(2,2,3); stem([sample_values.LO, sample_values.RF],[sample_values.c1,sample_values.c2]); title 'Input Frequencies' subplot(2,2,2); fplot(sample_output,[0,0.01]) title Output subplot(2,2,4); stem(sample_freqs,sample_heights) title 'Output Frequencies'