Ряд Тейлора
T = taylor(f,var)f с расширением Ряда Тейлора f до пятого порядка в точке var = 0. Если вы не задаете var, затем taylor использует переменную по умолчанию, определенную symvar(f,1).
T = taylor(___,Name,Value)Name,Value парные аргументы. Можно задать Name,Value после входных параметров в любом из предыдущих синтаксисов.
Найдите расширения серии Maclaurin экспоненциала, синуса и косинусных функций до пятого порядка.
syms x T1 = taylor(exp(x)) T2 = taylor(sin(x)) T3 = taylor(cos(x))
T1 = x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1 T2 = x^5/120 - x^3/6 + x T3 = x^4/24 - x^2/2 + 1
Можно использовать sympref функция, чтобы изменить выходной порядок символьных полиномов. Вновь отобразите полиномы в порядке возрастания.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T1
T2
T3T1 = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 T2 = x - x^3/6 + x^5/120 T3 = 1 - x^2/2 + x^4/24
Формат отображения вы устанавливаете использование sympref сохраняется через ваши текущие и будущие сеансы MATLAB®. Восстановите значение по умолчанию путем определения 'default' опция.
sympref('default');Найдите расширения Ряда Тейлора в x = 1 для этих функций. Точка расширения по умолчанию 0. Чтобы задать различную точку расширения, используйте ExpansionPoint:
syms x T = taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1)
T = x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1
В качестве альтернативы задайте точку расширения в качестве третьего аргумента taylor:
T = taylor(acot(x), x, 1)
T = pi/4 - x/2 + (x - 1)^2/4 - (x - 1)^3/12 + (x - 1)^5/40 + 1/2
Найдите расширение серии Maclaurin для f = sin(x)/x. Порядок усечения по умолчанию равняется 6. Приближение ряда Тейлора этого выражения не имеет термина пятой степени, таким образом, taylor аппроксимирует это выражение полиномом четвертой степени:
syms x f = sin(x)/x; T6 = taylor(f, x)
T6 = x^4/120 - x^2/6 + 1
Используйте Order управлять порядком усечения. Например, аппроксимируйте то же выражение до порядков 8 и 10:
T8 = taylor(f, x, 'Order', 8) T10 = taylor(f, x, 'Order', 10)
T8 = - x^6/5040 + x^4/120 - x^2/6 + 1 T10 = x^8/362880 - x^6/5040 + x^4/120 - x^2/6 + 1
Постройте исходное выражение f и его приближения T6, T8, и T10. Отметьте, как точность приближения зависит от порядка усечения.
fplot([T6 T8 T10 f]) xlim([-4 4]) grid on legend('approximation of sin(x)/x up to O(x^6)',... 'approximation of sin(x)/x up to O(x^8)',... 'approximation of sin(x)/x up to O(x^{10})',... 'sin(x)/x','Location','Best') title('Taylor Series Expansion')
Найдите расширение Ряда Тейлора этого выражения. По умолчанию, taylor использует абсолютную команду, которая является порядком усечения вычисленного ряда.
T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5)
T = -x^3/3
Найдите расширение Ряда Тейлора с относительным порядком усечения при помощи OrderMode. Для некоторых выражений относительный порядок усечения обеспечивает более точные приближения.
T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5, 'OrderMode', 'relative')
T = - x^7/2520 - x^5/60 - x^3/3
Найдите расширение серии Maclaurin этого многомерного выражения. Если вы не задаете вектор переменных, taylor обработки f как функция одной независимой переменной.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f)
T = x^5/120 - x^3/6 + x + cos(y) + exp(z)
Найдите многомерное расширение Maclaurin путем определения вектора переменных.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f, [x, y, z])
T = x^5/120 - x^3/6 + x + y^4/24 - y^2/2 + z^5/120 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 2
Можно использовать sympref функция, чтобы изменить выходной порядок символьного полинома. Вновь отобразите полином в порядке возрастания.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
TT = 2 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + z^5/120 - y^2/2 + y^4/24 + x - x^3/6 + x^5/120
Формат отображения вы устанавливаете использование sympref сохраняется через ваши текущие и будущие сеансы работы с MATLAB. Восстановите значение по умолчанию путем определения 'default' опция.
sympref('default');Найдите многомерное Разложение Тейлора путем определения и вектора переменных и вектора значений, задающих точку расширения:
syms x y f = y*exp(x - 1) - x*log(y); T = taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
T = x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2
Если вы указываете, что расширение указывает как скалярный a, taylor преобразовывает тот скаляр в вектор той же длины как вектор переменных. Все элементы вектора расширения равняются a:
T = taylor(f, [x, y], 1, 'Order', 3)
T = x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2
Если вы используете обоих третий аргумент a и ExpansionPoint задавать точку расширения, значение, заданное через ExpansionPoint преобладает.
Если var вектор, затем точка расширения a должен быть скаляр или вектор той же длины как var. Если var вектор и a скаляр, затем a расширен в вектор той же длины как var со всеми элементами равняются a.
Если точка расширения является бесконечностью или отрицательной бесконечностью, то taylor вычисляет расширение Ряда Лорана, которое является степенным рядом в 1/var.
Можно использовать sympref функция, чтобы изменить выходной порядок символьных полиномов.