Ортонормированный базис для области значений символьной матрицы
orth( вычисляет ортонормированный базис для области значений A)A.
orth( вычисляет ортонормированный базис с помощью действительного скалярного произведения в процессе ортогонализации.A,'real')
orth( вычисляет ненормированное ортогональное основание. В этом случае, векторы, формирующие столбцы A,'skipnormalization')B не обязательно имейте длину 1.
Вычислите ортонормированный базис области значений этой матрицы. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.
A = [2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1]; B = orth(A)
B =
-0.9859 -0.1195 0.1168
0.0290 -0.8108 -0.5846
0.1646 -0.5729 0.8029Теперь преобразуйте эту матрицу в символьный объект и вычислите ортонормированный базис:
A = sym([2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1]); B = orth(A)
B = [ (2*5^(1/2))/5, -6^(1/2)/6, -(2^(1/2)*15^(1/2))/30] [ 5^(1/2)/5, 6^(1/2)/3, (2^(1/2)*15^(1/2))/15] [ 0, 6^(1/2)/6, -(2^(1/2)*15^(1/2))/6]
Можно использовать double преобразовывать этот результат в числовую форму с двойной точностью. Получившаяся матрица отличается от матрицы, возвращенной MATLAB®
orth функционируйте, потому что эти функции используют различные версии алгоритма Ортогонализации Грама-Шмидта:
double(B)
ans =
0.8944 -0.4082 -0.1826
0.4472 0.8165 0.3651
0 0.4082 -0.9129Проверьте тот B'*B = I, где I единичная матрица:
B'*B
ans = [ 1, 0, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, 0, 1]
Теперь проверьте что 2-норма каждого столбца B 1:
norm(B(:, 1)) norm(B(:, 2)) norm(B(:, 3))
ans = 1 ans = 1 ans = 1
Вычислите ортонормированный базис этой матрицы с помощью 'real' избегать сопряженных комплексных чисел:
syms a A = [a 1; 1 a]; B = orth(A,'real')
B = [ a/(a^2 + 1)^(1/2), -(a^2 - 1)/((a^2 + 1)*((a^2 -... 1)^2/(a^2 + 1)^2 + (a^2*(a^2 - 1)^2)/(a^2 + 1)^2)^(1/2))] [ 1/(a^2 + 1)^(1/2), (a*(a^2 - 1))/((a^2 + 1)*((a^2 -... 1)^2/(a^2 + 1)^2 + (a^2*(a^2 - 1)^2)/(a^2 + 1)^2)^(1/2))]
Вычислите ортогональное основание этой матрицы с помощью 'skipnormalization'. Длины итоговых векторов (столбцы матричного B) не требуются, чтобы быть 1
syms a A = [a 1; 1 a]; B = orth(A,'skipnormalization')
B = [ a, -(a^2 - 1)/(a*conj(a) + 1)] [ 1, -(conj(a) - a^2*conj(a))/(a*conj(a) + 1)]
Вычислите ортогональное основание этой матрицы с помощью 'skipnormalization' и 'real':
syms a A = [a 1; 1 a]; B = orth(A,'skipnormalization','real')
B = [ a, -(a^2 - 1)/(a^2 + 1)] [ 1, (a*(a^2 - 1))/(a^2 + 1)]
Вызов orth для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами, вызывает MATLAB orth функция. Результаты, возвращенные MATLAB orth может отличаться от результатов, возвращенных orth потому что эти две функции используют различные алгоритмы, чтобы вычислить ортонормированный базис. orth Symbolic Math Toolbox™ функционируйте использует классический алгоритм Ортогонализации Грама-Шмидта. orth MATLAB функционируйте использует модифицированный Алгоритм Грама-Шмидта, потому что классический алгоритм численно неустойчив.
Используя 'skipnormalization' вычислить ортогональное основание вместо ортонормированного базиса может ускорить ваши расчеты.
orth использует классический алгоритм Ортогонализации Грама-Шмидта.