Аппроксимирующая функция Padé

Аппроксимирующая функция Padé порядка [m, n] аппроксимирует функциональный f (x) вокруг x = x ₀ как

$\frac{a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + ... + a_{m} {(x - x_{0})}^{m}}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + ... + b_{n} {(x - x_{0})}^{n}} .$

Аппроксимирующая функция Padé является рациональной функцией, сформированной отношением двух степенных рядов. Поскольку это - рациональная функция, это более точно, чем Ряд Тейлора в аппроксимации функций с полюсами. Аппроксимирующая функция Padé представлена функцией Symbolic Math Toolbox™ pade.

Когда полюс или нуль существуют в точке расширения x = x ₀, точность уменьшений аппроксимирующей функции Padé. Чтобы увеличить точность, альтернативная форма аппроксимирующей функции Padé может использоваться, который является

$\frac{{(x - x_{0})}^{p} (a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + ... + a_{m} {(x - x_{0})}^{m})}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + ... + b_{n} {(x - x_{0})}^{n}} .$

pade функция возвращает альтернативную форму аппроксимирующей функции Padé, когда вы устанавливаете OrderMode входной параметр к Relative.

Аппроксимирующая функция Padé используется в теории системы управления смоделировать задержки ответа системы. Задержки возникают в системах, таких как химические и транспортные процессы, где существует задержка между входом и откликом системы. Когда эти входные параметры моделируются, они называются входными параметрами потери времени. В этом примере показано, как использовать Symbolic Math Toolbox, чтобы смоделировать ответ системы первого порядка к входному использованию потери времени аппроксимирующие функции Padé.

Поведение системы первого порядка описано этим дифференциальным уравнением

$τ \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = a x (t) .$

Введите дифференциальное уравнение в MATLAB^®.

syms tau a x(t) y(t) xS(s) yS(s) H(s) tmp
F = tau*diff(y)+y == a*x;

Найдите Преобразование Лапласа F использование laplace.

F = laplace(F,t,s)

F =  $laplace (y (t), t, s) - τ (y (0) - s laplace (y (t), t, s)) = a laplace (x (t), t, s)$

Примите ответ системы в t = 0 0. Используйте subs заменять y(0) = 0.

F = subs(F,y(0),0)

F =  $laplace (y (t), t, s) + s τ laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Чтобы собрать распространенные слова, используйте simplify.

F = simplify(F)

F =  $(s τ + 1) laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Для удобочитаемости замените Преобразования Лапласа x(t) и y(t) с xS(s) и yS(s).

F = subs(F,[laplace(x(t),t,s) laplace(y(t),t,s)],[xS(s) yS(s)])

F =  $yS (s) (s τ + 1) = a xS (s)$

Преобразованием Лапласа передаточной функции является yS(s)/xS(s). Разделите обе стороны уравнения xS(s) и используйте subs заменять yS(s)/xS(s) с H(s).

F = F/xS(s);
F = subs(F,yS(s)/xS(s),H(s))

F =  $H (s) (s τ + 1) = a$

Решите уравнение для H(s). Замените H(s) с фиктивной переменной решите для фиктивной переменной с помощью solve, и присвойте решение назад H(s).

F = subs(F,H(s),tmp);
H(s) = solve(F,tmp)

H(s) = 
 $\frac{a}{s τ + 1}$

Вход к системе первого порядка является задержанным временем входом шага. Чтобы представлять вход шага, используйте heaviside. Задержите вход тремя единицами измерения времени. Найдите Преобразование Лапласа с помощью laplace.

step = heaviside(t - 3);
step = laplace(step)

step = 
 $\frac{e^{- 3 s}}{s}$

Найдите ответ системы, которая является продуктом передаточной функции и входа.

y = H(s)*step

y = 
 $\frac{a e^{- 3 s}}{s (s τ + 1)}$

Чтобы позволить строить ответа, установите параметры a и tau к их значениям. Для a и tau, выберите значения 1 и 3, соответственно.

y = subs(y,[a tau],[1 3]);
y = ilaplace(y,s);

Найдите аппроксимирующую функцию Padé порядка [2 2] из входа шага с помощью Order входной параметр к pade.

stepPade22 = pade(step,'Order',[2 2])

stepPade22 = 
 $\frac{3 s^{2} - 4 s + 2}{2 s (s + 1)}$

Найдите ответ на вход путем умножения передаточной функции и аппроксимирующей функции Padé входа.

yPade22 = H(s)*stepPade22

yPade22 = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 4 s + 2)}{2 s (s τ + 1) (s + 1)}$

Найдите обратное Преобразование Лапласа yPade22 использование ilaplace.

yPade22 = ilaplace(yPade22,s)

yPade22 = 
 $a + \frac{9 a e^{- s}}{2 τ - 2} - \frac{a e^{- \frac{s}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

Чтобы построить ответ, установите параметры a и tau к их значениям 1 и 3, соответственно.

yPade22 = subs(yPade22,[a tau],[1 3])

yPade22 = 
 $\frac{9 e^{- s}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{s}{3}}}{4} + 1$

Постройте ответ системы y и ответ, вычисленный от аппроксимирующей функции Padé yPade22.

hold on
grid on
fplot([y yPade22],[0 20])
title('Pade Approximant for dead-time step input')
legend('Response to dead-time step input',...
       'Pade approximant [2 2]',...
       'Location', 'Best')

[2 2] Аппроксимирующая функция Padé не представляет ответ хорошо, потому что полюс существует в точке расширения 0. Увеличить точность pade когда будет полюс или нуль в точке расширения, установите OrderMode входной параметр к Relative и повторите шаги. Для получения дополнительной информации смотрите pade.

stepPade22Rel = pade(step,'Order',[2 2],'OrderMode','Relative')

stepPade22Rel = 
 $\frac{3 s^{2} - 6 s + 4}{s (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = H(s)*stepPade22Rel

yPade22Rel = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 6 s + 4)}{s (s τ + 1) (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace(yPade22Rel)

yPade22Rel = 
 $\begin{array}{l} a - \frac{a e^{- \frac{t}{τ}} (4 τ^{2} + 6 τ + 3)}{σ_{1}} + \frac{12 a τ e^{- t} (\cos (\frac{\sqrt{3} t}{3}) - \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3}) (\frac{36 a - 72 a τ}{36 a τ} + 1))}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = 4 τ^{2} - 6 τ + 3 \end{array}$

yPade22Rel = subs(yPade22Rel,[a tau],[1 3])

yPade22Rel = 
 $\frac{12 e^{- t} (\cos (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot(yPade22Rel,[0 20],'DisplayName','Relative Pade approximant [2 2]')

Точность аппроксимирующей функции Padé может также быть увеличена путем увеличения ее порядка. Увеличьте порядок до [4 5] и повторите шаги. [n-1 n] Аппроксимирующая функция Padé лучше в аппроксимации ответа в t = 0 чем [n n] Аппроксимирующая функция Padé.

stepPade45 = pade(step,'Order',[4 5])

stepPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = H(s)*stepPade45

yPade45 = 
 $\frac{a (27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560)}{s (s τ + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45,[a tau],[1 3])

yPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (3 s + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = ilaplace(yPade45)

yPade45 = 
 $\begin{array}{l} \frac{294120 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{2}}{σ_{1}})}{1001} - \frac{2721 e^{- \frac{t}{3}}}{1001} + \frac{46440 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{3}}{σ_{1}})}{1001} + \frac{172560 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}}}{σ_{1}})}{143} + \frac{101520 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{σ_{2} t} σ_{2}}{12 (90 σ_{2} + 45 {σ_{2}}^{2} + 9 {σ_{2}}^{3} + 70)})}{143} + 1 \\ where \\ σ_{1} = 12 (9 {σ_{2}}^{3} + 45 {σ_{2}}^{2} + 90 σ_{2} + 70) \\ σ_{2} = root ({s_{5}}^{4} + \frac{20 {s_{5}}^{3}}{3} + 20 {s_{5}}^{2} + \frac{280 s_{5}}{9} + \frac{560}{27}, s_{5}, k) \end{array}$

yPade45 = vpa(yPade45)

yPade45 =  $3.2418384981662546679005910164486 e^{- 1.930807068546914778929595950184 t} \cos (0.57815608595633583454598214328008 t) - 2.7182817182817182817182817182817 e^{- 0.33333333333333333333333333333333 t} - 1.5235567798845363861823092981669 e^{- 1.4025262647864185544037373831494 t} \cos (1.7716120279045018112388813990878 t) + 11.595342871672681856604670597166 e^{- 1.930807068546914778929595950184 t} \sin (0.57815608595633583454598214328008 t) - 1.7803798379230333426855987436911 e^{- 1.4025262647864185544037373831494 t} \sin (1.7716120279045018112388813990878 t) + 1.0$

fplot(yPade45,[0 20],'DisplayName','Pade approximant [4 5]')

Следующие моменты показали:

Аппроксимирующие функции Padé могут смоделировать входные параметры шага потери времени.
Точность аппроксимирующей функции Padé увеличивается с увеличением порядка аппроксимирующей функции.
Когда полюс или нуль существуют в точке расширения, аппроксимирующая функция Padé неточна о точке расширения. Чтобы увеличить точность аппроксимирующей функции, установите OrderMode опция к Relative. Можно также использовать, увеличивают порядок знаменателя относительно числителя.

Документация

Аппроксимирующая функция Padé

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка