Найдите аппроксимирующую функцию Padé для символьных выражений

Найдите аппроксимирующую функцию Padé sin(x). По умолчанию, pade возвращает третий порядок аппроксимирующая функция Padé.

syms x
pade(sin(x))

ans =
-(x*(7*x^2 - 60))/(3*(x^2 + 20))

Задайте переменную расширения

Если вы не задаете переменную расширения, symvar выбирает его. Найдите аппроксимирующую функцию Padé sin(x) + cos(y). symvar функция выбирает x как переменная расширения.

syms x y
pade(sin(x) + cos(y))

ans =
(- 7*x^3 + 3*cos(y)*x^2 + 60*x + 60*cos(y))/(3*(x^2 + 20))

Задайте переменную расширения как y. pade функция возвращает аппроксимирующую функцию Padé относительно y.

pade(sin(x) + cos(y),y)

ans =
(12*sin(x) + y^2*sin(x) - 5*y^2 + 12)/(y^2 + 12)

Приближенное значение функции в конкретной точке

Найдите значение tan(3*pi/4). Используйте pade найти аппроксимирующую функцию Padé для tan(x) и займите место в него с помощью subs найти tan(3*pi/4).

syms x
f = tan(x);
P = pade(f);
y = subs(P,x,3*pi/4)

y =
(pi*((9*pi^2)/16 - 15))/(4*((9*pi^2)/8 - 5))

Используйте vpa преобразовывать y в числовое значение.

vpa(y)

ans =
-1.2158518789569086447244881326842

Увеличьте точность аппроксимирующей функции Padé

Можно увеличить точность аппроксимирующей функции Padé путем увеличения порядка. Если точка расширения является полюсом или нулем, точность может также быть увеличена на установку OrderMode к relative. OrderMode опция не оказывает влияния, если точка расширения не является полюсом или нулем.

Найдите аппроксимирующую функцию Padé tan(x) использование pade с точкой расширения 0 и Order из [1 1]. Найдите значение tan(1/5) путем замены в аппроксимирующую функцию Padé с помощью subs, и используйте vpa преобразовывать 1/5 в числовое значение.

syms x
p11 = pade(tan(x),x,0,'Order',[1 1])
p11 = subs(p11,x,vpa(1/5))

p11 =
x
p11 =
0.2

Найдите ошибку приближения путем вычитания p11 от фактического значения tan(1/5).

y = tan(vpa(1/5));
error = y - p11

error =
0.0027100355086724833213582716475345

Увеличьте точность аппроксимирующей функции Padé путем увеличения порядка с помощью OrdersetOrder к [2 2], и найдите ошибку.

p22 = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2])
p22 = subs(p22,x,vpa(1/5));
error = y - p22

p22 =
-(3*x)/(x^2 - 3)
error =
0.0000073328059697806186555689448317799

Точность увеличивается с увеличивающимся порядком.

Если точка расширения является полюсом или нулем, точностью уменьшений аппроксимирующей функции Padé. Установка OrderMode опция к relative компенсирует уменьшенную точность. Для получения дополнительной информации см. Аппроксимирующую функцию Padé. Поскольку tan функция имеет нуль в 0, установка OrderMode к relative точность увеличений. Эта опция не оказывает влияния, если точка расширения не является полюсом или нулем.

p22Rel = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2],'OrderMode','relative')
p22Rel = subs(p22Rel,x,vpa(1/5));
error = y - p22Rel

p22Rel =
(x*(x^2 - 15))/(3*(2*x^2 - 5))
error =
0.0000000084084014806113311713765317725998

Точность увеличивается, если точка расширения является полюсом или нулем и OrderMode установлен в relative.

Постройте точность аппроксимирующей функции Padé

Постройте различие между exp(x) и его аппроксимирующие функции Padé порядков [1 1] через [4 4]. Используйте axis фокусироваться на необходимой области. График показывает, что точность увеличивается с увеличивающимся порядком аппроксимирующей функции Padé.

syms x
expr = exp(x);

hold on
grid on

for i = 1:4
    fplot(expr - pade(expr,'Order',i))
end

axis([-4 4 -4 4])
legend('Order [1,1]','Order [2,2]','Order [3,3]','Order [4,4]',...
                                            'Location','Best')
title('Difference Between exp(x) and its Pade Approximant')
ylabel('Error')