Получите MODWTMRA, простой timeseries сигнализирует и демонстрирует совершенную реконструкцию.

Создайте сигнал timeseries

t = 1:10;
x = sin(2*pi*200*t);

Получите MODWT и MODWTMRA и суммируйте строки MODWTMRA.

m = modwt(x);
mra = modwtmra(m);
xrec = sum(mra);

Используйте максимум абсолютных значений, чтобы показать, что различие между исходным сигналом и реконструкцией чрезвычайно мало. Самое большое абсолютное значение находится на порядке $$10^{-25}$$, который демонстрирует совершенную реконструкцию.

max(abs(x-xrec))

ans = 5.5738e-25

Создайте MRA сигнала ECG вниз, чтобы выровнять четыре использования db2 вейвлет. Данные взяты из Percival & Walden (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет). Частота дискретизации для сигнала ECG составляет 180 герц.

load wecg;
lev = 4;
wtecg = modwt(wecg,'db2',lev);
mra = modwtmra(wtecg,'db2');

Постройте форму волны ECG и MRA.

t = (0:numel(wecg)-1)/180;
subplot(6,1,1)
plot(t,wecg)
for kk = 2:lev+2
    subplot(6,1,kk)
    plot(t,mra(kk-1,:))
end
xlabel('Time (s)')
set(gcf,'Position',[0 0 500 700])

Создайте анализ мультиразрешения для южных данных об индексе Колебания. Период выборки является одним днем. Постройте уровень восемь деталей, соответствующих шкале $$2^8$$ дни. Детали в этой шкале получают колебания по шкале приблизительно одного года.

load soi
wtsoi = modwt(soi);
mrasoi = modwtmra(wtsoi);
plot(mrasoi(8,:))
title('Level 8 Details')

Получите MRA для Деуча Марка - данные об обменном курсе доллара США с помощью минимального масштабирования пропускной способности и фильтров вейвлета с четырьмя коэффициентами.

load DM_USD;
Lo = [0.4801755, 0.8372545, 0.2269312, -0.1301477];
Hi = qmf(Lo);
wdm = modwt(DM_USD,Lo,Hi);
mra = modwtmra(wdm,Lo,Hi);

Получите MRA для сигнала ECG использование 'reflection' граничная обработка. Данные взяты из Percival & Walden (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg,'reflection');
mra = modwtmra(wtecg,'reflection');

Покажите, что количество столбцов в MRA равно числу элементов в исходном сигнале.

isequal(size(mra,2),numel(wecg))

ans = logical
   1

Этот пример демонстрирует различия между функциями MODWT и MODWTMRA. Разделы MODWT энергия сигнала через коэффициенты детали и масштабные коэффициенты. Проекты MODWTMRA сигнал на подпространства вейвлета и масштабирующееся подпространство.

Выберите sym6 вейвлет. Загрузите и постройте электрокардиограмму (ECG) сигнал. Частота дискретизации для сигнала ECG составляет 180 герц. Данные взяты от Персиваля и Уолдена (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет).

load wecg
t = (0:numel(wecg)-1)/180;
wv = 'sym6';
plot(t,wecg)
grid on
title(['Signal Length = ',num2str(numel(wecg))])
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')

Возьмите MODWT сигнала.

wtecg = modwt(wecg,wv);

Входные данные являются выборками функции $$f(x)$$ оцененный в $$N$$- много моментов времени. Функция может быть выражена как линейная комбинация масштабирующейся функции $$\varphi (x)$$ и вейвлет $$\psi (x)$$в различных шкалах и переводах: $$f(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{2}^{-J_0/2}\varphi (2^{-J_0}x-k)+\sum _{j=1}^{J_0}{f}_j(x)$$ где $$f_j(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{d}_{j,k}{2}^{-j/2}\psi (2^{-j}x-k)$$ и $$J_0$$ количество уровней разложения вейвлета. Первая сумма является крупным приближением шкалы сигнала, и $$f_j(x)$$ детали в последовательных шкалах. MODWT возвращается $$N$$- много коэффициентов $$\{c_k\}$$и $$(J_0\times N)$$- много коэффициентов детали $$\{d_{j,k}\}$$ из расширения. Каждая строка в wtecg содержит коэффициенты в различной шкале.

При взятии MODWT сигнала длины $$N$$, существуют $$\text{floor}({\log }_2(N))$$- много уровней разложения (по умолчанию). Коэффициенты детали производятся на каждом уровне. Масштабные коэффициенты возвращены только для итогового уровня. В этом примере, с тех пор $$N=2048$$, $$J_0=\text{пол}(\log 2(2048))=11$$ и количество строк в wtecg $$J_0+1=11+1=12$$.

Разделы MODWT энергия через различные шкалы и масштабные коэффициенты: $${\left|\right|X\left|\right|}^2=\sum _{j=1}^{J_0}{\left|\right|W_j\left|\right|}^2+{\left|\right|V_{J_0}\left|\right|}^2$$ где $$X$$ входные данные, $$W_j$$ коэффициенты детали в шкале $$j$$, и $$V_{J_0}$$ масштабные коэффициенты итогового уровня.

Вычислите энергию в каждой шкале и оцените их сумму.

energy_by_scales = sum(wtecg.^2,2);
Levels = {'D1';'D2';'D3';'D4';'D5';'D6';'D7';'D8';'D9';'D10';'D11';'A11'};
energy_table = table(Levels,energy_by_scales);
disp(energy_table)

    Levels     energy_by_scales
    _______    ________________

    {'D1' }         14.063     
    {'D2' }         20.612     
    {'D3' }         37.716     
    {'D4' }         25.123     
    {'D5' }         17.437     
    {'D6' }         8.9852     
    {'D7' }         1.2906     
    {'D8' }         4.7278     
    {'D9' }         12.205     
    {'D10'}         76.428     
    {'D11'}         76.268     
    {'A11'}         3.4192     

energy_total = varfun(@sum,energy_table(:,2))

energy_total=table
    sum_energy_by_scales
    ____________________

           298.28       

Подтвердите, что MODWT является сохранением энергии путем вычисления энергии сигнала и сравнения его с суммой энергий по всем шкалам.

energy_ecg = sum(wecg.^2);
max(abs(energy_total.sum_energy_by_scales-energy_ecg))

ans = 7.4346e-10

Возьмите MODWTMRA сигнала.

mraecg = modwtmra(wtecg,wv);

MODWTMRA возвращает проекции функции $$f(x)$$ на различные подпространства вейвлета и итоговый пробел масштабирования. Таким образом, MODWTMRA возвращается $$\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{2}^{-J_0/2}\varphi (2^{-J_0}x-k)$$и $$J_0$$- многие $$\{f_j(x)\}$$оцененный в $$N$$- много моментов времени. Каждая строка в mraecg проекция $$f(x)$$ на различное подпространство. Это означает, что исходный сигнал может быть восстановлен путем добавления всех проекций. Это не верно в случае MODWT. Добавление коэффициентов в wtecg не восстановит исходный сигнал.

Выберите момент времени, добавьте проекции $$f(x)$$ оцененный в то время указывают и соответствуют исходному сигналу.

time_point = 1000;
abs(sum(mraecg(:,time_point))-wecg(time_point))

ans = 3.0813e-13

Подтвердите, что, в отличие от MODWT, MODWTMRA не является сохраняющим энергию преобразованием.

energy_ecg = sum(wecg.^2);
energy_mra_scales = sum(mraecg.^2,2);
energy_mra = sum(energy_mra_scales);
max(abs(energy_mra-energy_ecg))

ans = 115.7053

MODWTMRA является фильтрацией нулевой фазы сигнала. Функции будут выровнены временем. Продемонстрируйте это путем графического вывода исходного сигнала и одной из его проекций. Чтобы лучше проиллюстрировать выравнивание, увеличить масштаб.

plot(t,wecg,'b')
hold on
plot(t,mraecg(4,:),'-')
hold off
grid on
xlim([4 8])
legend('Signal','Projection','Location','northwest')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')

Сделайте подобный график с помощью коэффициентов MODWT в той же шкале. Обратите внимание на то, что функции не будут выровнены временем. MODWT не является фильтрацией нулевой фазы входа.

plot(t,wecg,'b')
hold on
plot(t,wtecg(4,:),'-')
hold off
grid on
xlim([4 8])
legend('Signal','Coefficients','Location','northwest')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')