MMSE прогнозирование моделей регрессии с ошибками ARIMA

Что такое прогнозы MMSE?

Цель анализа временных рядов генерирует прогнозы ответов за будущий период времени. Таким образом, можно сгенерировать предсказания для y T + 1, y T + 2..., y T + h, учитывая следующее:

  • Наблюдаемая серия y 1, y 2..., yT

  • Горизонт прогноза h

  • Нестохастический x предикторов 1, x 2..., xT..., x T + h, где xk является r - вектор, содержащий измерения предикторов r, наблюдаемых во время k

  • Модель регрессии с ошибками ARIMA

    yt=c+Xtβ+utΗ(L)ut=Ν(L)εt,

    где H (L) и N (L) являются составными полиномами оператора задержки авторегрессивного и скользящего среднего значения (возможно содержащий интегрирование), соответственно.

Пусть y^t+1 обозначьте прогноз процесса во время t + 1, условное выражение на истории процесса до времени t (Ht), и примите, что предикторы фиксируются. Прогноз минимальной среднеквадратичной погрешности (MMSE) является прогнозом y^t+1 это минимизирует ожидаемую квадратную потерю,

E(yt+1y^t+1|Ht)2.

Минимизация этой функции потерь дает к прогнозу MMSE,

y^t+1=E(yt+1|Ht).

Как предсказанный Генерирует Прогнозы MMSE

forecast генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы вызываете forecast, необходимо задать regARIMA модель (Mdl) и горизонт прогноза. Можно также задать преддемонстрационные наблюдения (Y0), предикторы (X0), инновации (E0), и условные воздействия (U0) использование аргументов пары "имя-значение".

Чтобы начать предсказывать yt, запускающийся во время T + 1, используйте последние несколько наблюдений за yt и Xt как преддемонстрационные ответы и предикторы, чтобы инициализировать прогноз. В качестве альтернативы можно задать преддемонстрационные безусловные воздействия или инновации.

Однако, когда вы задаете преддемонстрационные данные:

  • Если вы обеспечиваете преддемонстрационные данные о предикторе (X0), затем необходимо также обеспечить прогнозы предиктора (XF). Это - лучшая практика установить X0 к той же матрице предиктора, которая оценивает параметры. Если вы не обеспечиваете преддемонстрационные и будущие предикторы, то forecast игнорирует компонент регрессии в модели.

  • Если ошибочный процесс в Mdl содержит сезонный или несезонный авторегрессивный компонент или сезонное или несезонное интегрирование, затем forecast требует, чтобы минимум предварительной выборки P безусловные воздействия инициализировал прогноз. Свойство P из Mdl хранилища P.

  • Если ошибочный процесс в Mdl содержит сезонный или несезонный компонент скользящего среднего значения, затем forecast требует, чтобы минимум преддемонстрационных инноваций Q инициализировал прогноз. Свойство Q из Mdl хранилища Q.

  • Если вы обеспечиваете достаточную сумму преддемонстрационных безусловных воздействий, то forecast игнорирует Y0 и X0. Если вы также не обеспечиваете E0, но обеспечьте достаточно преддемонстрационных безусловных воздействий, затем forecast выводит необходимое количество преддемонстрационных инноваций из ошибочной модели ARIMA и U0.

  • Если вы обеспечиваете достаточный объем преддемонстрационных ответов и предикторов (и не обеспечивайте U0), затем forecast использует модель регрессии, чтобы вывести преддемонстрационные безусловные воздействия.

  • Если вы не обеспечиваете преддемонстрационные наблюдения, то forecast устанавливает необходимое количество преддемонстрационных безусловных воздействий и инноваций к 0.

  • Если вы обеспечиваете недостаточный объем преддемонстрационных наблюдений, то forecast возвращает ошибку.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы из модели регрессии с ARMA (3,2) ошибки:

yt=c+Xtβ+ut(1a1La2L2a3L3)ut=(1+b1L+b2L2)εtилиa(L)ut=b(L)εt,

где a (L) и B (L) является полиномами оператора задержки. Самая большая задержка AR равняется 3, самая большая задержка MA равняется 2. Эта модель не содержит сезонных задержек, ни интегрирования. Поэтому P = 3 и Q = 2. Чтобы предсказать эту модель, вам нужны три преддемонстрационных ответа и предикторы, или три преддемонстрационных безусловных воздействия и две преддемонстрационных инновации.

Учитывая преддемонстрационные безусловные воздействия (uT2,uT1,uT), преддемонстрационные инновации (εT1,εT), и будущие предикторы (XT+1,XT+2,...), можно предсказать модель можно следующим образом:

  • u^T+1=a1uT+a2uT1+a3uT2+b1εT+b2εT1y^T+1=c+XT+1β+u^T+1.

  • u^T+2=a1u^T+1+a2uT+a3uT1+b2εTy^T+2=c+XT+2β+u^T+2.

  • u^T+3=a1u^T+2+a2u^T+1+a3uTy^T+3=c+XT+3β+u^T+3.

...

Обратите внимание на то, что:

  • Будущие инновации берут свое безусловное среднее значение, 0.

  • Для стационарных ошибочных процессов, таких как этот:

    • Предсказанные безусловные воздействия сходятся к своему безусловному среднему значению,

      E(ut)=b(L)a(L)E(εt)=0.

    • c + Xtβ управляет долгосрочным поведением предсказанных ответов.

Ошибка прогноза

Ошибка прогноза для s - шаг вперед прогноз модели регрессии с ошибками ARIMA

MSE=E(yT+sy^T+s|HT+s1)2=E(c+XT+sβ+uT+scXt+sβu^T+s|HT+s1)2=E(uT+su^T+s|HT+s1)2=Ν(L)Η(L)E(εt2|HT+s1)=ψ(L)σ2,

где дивиденд, ψ (L) является бесконечным полиномом оператора задержки и σ 2, является инновационным отклонением.

Если ошибочный процесс является стационарным, то коэффициенты ψ (L) являются абсолютно суммируемыми. Поэтому MSE (среднеквадратичная погрешность) сходится к безусловному отклонению процесса [1].

Если ошибочный процесс не является стационарным, то MSE растет с увеличением s.

Ссылки

[1] Поле, G. E. P. Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ Временных Рядов: Прогнозирование и Управление. 3-й редактор Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.

Смотрите также

|

Связанные примеры

Больше о

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте