Документация

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) содержит одну или несколько производных зависимой переменной, y, относительно одной независимой переменной, t, обычно называемого временем. Обозначение, используемое здесь для представления производных y относительно t, $$y\text{'}$$ для первой производной, $$y\text{'}\text{'}$$ для второй производной, и так далее. Порядок ОДУ равен производной самого высокого порядка y, который появляется в уравнении.

Например, это ОДУ второго порядка:

В задаче с начальными значениями ОДУ решен путем запуска с начального состояния. Используя начальное условие, $$y_0$$, а также промежуток времени, за который ответ должен быть получен, $$\left(t_0,t_f\right)$$, решение получено итеративно. На каждом шаге решатель применяет конкретный алгоритм к результатам предыдущих шагов. На первом этапе начальное условие предоставляет необходимую информацию, которая позволяет продолжить интегрирование. Конечный результат состоит в том, что решатель ОДУ возвращает вектор времени $$t=\left[t_0,t_1,t_2,\mathrm{...},t_f\right]$$ а также соответствующее решение на каждом шаге $$y=\left[y_0,y_1,y_2,\mathrm{...},y_f\right]$$.

Типы ОДУ

Решатели ОДУ в MATLAB^® решают эти типы ОДУ первого порядка:

Можно предоставить дополнительную информацию к решателю для некоторых типов проблем при помощи odeset функция, чтобы создать структуру опций.

Системы ОДУ

Можно задать любое количество двойных уравнений ODE, чтобы решить, и в принципе количество уравнений только ограничивается доступной памятью компьютера. Если система уравнений имеет уравнения n,

затем функция, которая кодирует уравнения, возвращает вектор с элементами n, соответствуя значениям для $$y{\text{'}}_1,y{\text{'}}_2,\dots ,y{\text{'}}_n$$. Например, рассмотрите систему двух уравнений

Функция, которая кодирует эти уравнения,

function dy = myODE(t,y)
dy(1) = y(2);
dy(2) = y(1)*y(2)-2;

ОДУ высшего порядка

Решатели ОДУ MATLAB только решают уравнения первого порядка. Необходимо переписать ОДУ высшего порядка как эквивалентную систему уравнений первого порядка с помощью типовых замен

Результатом этих замен является система уравнений первого порядка n

Например, рассмотрите ОДУ третьего порядка

Используя замены

результаты в эквивалентной системе первого порядка

Код для этой системы уравнений затем

function dydt = f(t,y)
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = y(3);
dydt(3) = y(1)*y(3)-1;

Комплексные ОДУ

Рассмотрите комплексное уравнение ODE

где $$y=y_1+i{y}_2$$. Чтобы решить его, разделите действительные и мнимые части на различные компоненты решения, затем повторно объедините результаты в конце. Концептуально, это похоже

Например, если ОДУ $$y\text{'}=yt+2i$$, затем можно представлять уравнение с помощью файла функции.

function f = complexf(t,y)
% Define function that takes and returns complex values
f = y.*t + 2*i;

Затем код, чтобы разделить действительные и мнимые части

function fv = imaginaryODE(t,yv)
% Construct y from the real and imaginary components
y = yv(1) + i*yv(2);            

% Evaluate the function
yp = complexf(t,y);             

% Return real and imaginary in separate components
fv = [real(yp); imag(yp)];      

Когда вы запускаете решатель, чтобы получить решение, начальное условие y0 также разделен на действительные и мнимые части, чтобы обеспечить начальное условие для каждого компонента решения.

y0 = 1+i;
yv0 = [real(y0); imag(y0)];
tspan = [0 2];
[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

Если вы получаете решение, комбинируете действительные и мнимые компоненты вместе, чтобы получить конечный результат.

y = yv(:,1) + i*yv(:,2);

Основной выбор решателя

ode45 выполняет хорошо с большинством проблем ОДУ и должен обычно быть ваш предпочтительный вариант решателя. Однако ode23 и ode113 может быть более эффективным, чем ode45 для проблем с более свободными или более высокими требованиями точности.

Некоторые проблемы ОДУ показывают жесткость или трудность при оценке. Жесткость является термином, который игнорирует точное определение, но в целом, жесткость происходит, когда существует различие в масштабировании где-нибудь в проблеме. Например, если ОДУ имеет два компонента решения, которые варьируются на решительно различных масштабах времени, затем уравнение может быть жестким. Можно идентифицировать проблему, столь же жесткую если нежесткие решатели (такой как ode45) не могут решить задачу или являются чрезвычайно медленными. Если вы замечаете, что нежесткий решатель является очень медленным, попытайтесь использовать жесткий решатель такой как ode15s вместо этого. При использовании жесткого решателя можно улучшить надежность и КПД путем предоставления якобиевской матрицы или ее шаблона разреженности.

Эта таблица предоставляет общие руководящие принципы на том, когда использовать каждый из других решателей.

Для получения дополнительной информации и дальнейшие рекомендации о том, когда использовать каждый решатель, см. [5].

Сводные данные примеров ОДУ и файлов

Существует несколько файлов в качестве примера, доступных, которые служат превосходными начальными точками для большинства проблем ОДУ. Запускать приложение Дифференциальных уравнений В качестве примера, которое позволяет вам легко исследовать и запустить примеры, тип

odeexamples

Чтобы открыть отдельный файл в качестве примера для редактирования, ввести

edit exampleFileName.m

Чтобы запустить пример, ввести

exampleFileName

Эта таблица содержит список доступного ОДУ и файлов ДАУ в качестве примера, а также решателей и опций, которые они используют. Ссылки включены для подмножества примеров, которые также публикуются непосредственно в документации.