Визуализация разреженной матрицы

spy постройте показывает ненулевые элементы в матрице.

Этот spy постройте показывает разреженную симметричную положительную определенную матрицу, выведенную из фрагмента матрицы штанги. Эта матрица описывает связи в графике, который напоминает штангу.

load barbellgraph.mat
S = A + speye(size(A));
pct = 100 / numel(A);
spy(S)
title('A Sparse Symmetric Matrix')
nz = nnz(S);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));

Вот график графика штанги.

G = graph(S,'omitselfloops');
p = plot(G,'XData',xy(:,1),'YData',xy(:,2),'Marker','.');
axis equal

Вычисление фактора Холесского

Вычислите Фактор Холесского L, где S = L*L'. Заметьте тот L содержит намного больше ненулевых элементов, чем неучтенный S, потому что расчет факторизации Холесского создает ненули временной замены. Эти значения временной замены замедляют алгоритм и увеличивают затраты на хранение.

L = chol(S,'lower');
spy(L)
title('Cholesky Decomposition of S')
nc(1) = nnz(L);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(1),nc(1)*pct));

Переупорядочение, чтобы ускорить вычисление

Путем переупорядочения строк и столбцов матрицы возможно уменьшать сумму временной замены, которую факторизация создает, таким образом, уменьшая время и затраты на хранение последующих вычислений.

Несколько различных переупорядочений, поддержанных MATLAB®:

Протестируйте эффекты этих переупорядочений разреженной матрицы на матрице штанги.

Переупорядочение количества столбцов

colperm команда использует алгоритм перестановки количества столбцов, чтобы переместить строки и столбцы с более высоким ненулевым количеством к концу матрицы.

q = colperm(S);
spy(S(q,q))
title('S(q,q) After Column Count Ordering')
nz = nnz(S);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));

Для этой матрицы упорядоченное расположение количества столбцов может едва уменьшать время и устройство хранения данных для факторизации Холесского.

L = chol(S(q,q),'lower');
spy(L)
title('chol(S(q,q)) After Column Count Ordering')
nc(2) = nnz(L);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(2),nc(2)*pct));

Переупорядочение обратного алгоритма Катхилла-Макки

symrcm команда использует обратный алгоритм Катхилла-Макки, чтобы подвинуть все ненулевые элементы поближе к диагонали, уменьшая пропускную способность исходной матрицы.

d = symrcm(S);
spy(S(d,d))
title('S(d,d) After Cuthill-McKee Ordering')
nz = nnz(S);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));

Временная замена, произведенная факторизацией Холесского, ограничена полосой, таким образом разложение на множители переупорядоченной матрицы занимает меньше времени и меньше устройства хранения данных.

L = chol(S(d,d),'lower');
spy(L)
title('chol(S(d,d)) After Cuthill-McKee Ordering')
nc(3) = nnz(L);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)', nc(3),nc(3)*pct));

Минимальное переупорядочение степени

amd команда использует аппроксимированный минимальный алгоритм степени (мощный теоретический графиком метод), чтобы произвести большие блоки нулей в матрице.

r = amd(S);
spy(S(r,r))
title('S(r,r) After Minimum Degree Ordering')
nz = nnz(S);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));

Факторизация Холесского сохраняет блоки нулей, произведенных минимальным алгоритмом степени. Эта структура может значительно уменьшать время и затраты на хранение.

L = chol(S(r,r),'lower');
spy(L)
title('chol(S(r,r)) After Minimum Degree Ordering')
nc(4) = nnz(L);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(4),nc(4)*pct));

Вложенное сочетание рассечения

dissect функционируйте использует теоретические графиком методы, чтобы произвести уменьшающие заливку упорядоченные расположения. Алгоритм обрабатывает матрицу как матрицу смежности графика, огрубляет график путем сворачивания вершин и ребер, переупорядочивает меньший график, и затем использует шаги улучшения, чтобы не огрубить маленький график и произвести переупорядочение исходного графика. Результатом является мощный алгоритм, который часто производит наименьшее количество суммы временной замены по сравнению с другими алгоритмами перестановки.

p = dissect(S);
spy(S(p,p))
title('S(p,p) After Nested Dissection Ordering')
nz = nnz(S);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));

Подобно минимальному упорядоченному расположению степени факторизация Холесского вложенного рассечения, заказывающего в основном, сохраняет ненулевую структуру S(d,d) ниже основной диагонали.

L = chol(S(p,p),'lower');
spy(L)
title('chol(S(p,p)) After Nested Dissection Ordering')
nc(5) = nnz(L);
xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(5),nc(5)*pct));

Суммирование результатов

Эта столбчатая диаграмма обобщает эффекты переупорядочения матрицы прежде, чем выполнить факторизацию Холесского. В то время как факторизация Холесского исходной матрицы имела приблизительно 8% своих элементов как ненули, с помощью dissect или symamd уменьшает ту плотность меньше чем до 1%.

labels = {'Original','Column Count','Cuthill-McKee',...
    'Min Degree','Nested Dissection'};
bar(nc*pct)
title('Nonzeros After Cholesky Factorization')
ylabel('Percent');
ax = gca;
ax.XTickLabel = labels;
ax.XTickLabelRotation = -45;