Вычислите градиент монотонно увеличивающегося вектора.

x = 1:10

x = 1×10

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

fx = gradient(x)

fx = 1×10

     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

Вычислите 2D градиент $$x{e}^{-x^2-y^2}$$ на сетке.

x = -2:0.2:2;
y = x';
z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
[px,py] = gradient(z);

Постройте линии контура и векторы на том же рисунке.

figure
contour(x,y,z)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off

Используйте градиент в конкретной точке, чтобы линейно аппроксимировать значение функции в соседней точке и сравнить его с фактическим значением.

Уравнение для линейной аппроксимации значения функции

Таким образом, если вы знаете значение функции $$f(x_0)$$ и наклон производной $${(\nabla f)}_{x_0}$$ в конкретной точке $$x_0$$, затем можно использовать эту информацию, чтобы аппроксимировать значение функции в соседней точке $$f(x)=f(x_0+ϵ)$$.

Вычислите некоторые значения синусоидальной функции между-1 и 0.5. Затем вычислите градиент.

y = sin(-1:0.25:0.5);
yp = gradient(y,0.25);

Используйте значение функции и производную в x = 0.5 предсказать значение sin(0.5005).

y_guess = y(end) + yp(end)*(0.5005 - 0.5)

y_guess = 0.4799

Вычислите фактическое значение для сравнения.

y_actual = sin(0.5005)

y_actual = 0.4799

Найдите значение градиента многомерной функции в заданной точке.

Рассмотрите многомерную функцию $$f(x,y)=x^2{y}^3$$.

x = -3:0.2:3;
y = x';
f = x.^2 .* y.^3;
surf(x,y,f)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')

Вычислите градиент на сетку.

[fx,fy] = gradient(f,0.2);

Извлеките значение градиента в точке (1,-2). Для этого сначала получите индексы точки, с которой вы хотите работать. Затем используйте индексы, чтобы извлечь соответствующие значения градиента из fx и fy.

x0 = 1;
y0 = -2;
t = (x == x0) & (y == y0);
indt = find(t);
f_grad = [fx(indt) fy(indt)]

f_grad = 1×2

  -16.0000   12.0400

Точное значение градиента $$f(x,y)=x^2{y}^3$$ в точке (1,-2)