Настройте электропривод

В этом примере показано, как настроить электропривод с помощью структуры каскадного регулирования.

Структура каскадного регулирования

Рисунок показывает контур управления с обратной связью, который использует структуру каскадного регулирования. Внешний контур регулировки скорости медленнее действует, чем внутренний контур управления током.

Уравнения для настройки ПИ-регулятора, используя метод размещения полюсов

Чтобы удовлетворить необходимой эффективности управления для простой дискретной модели объекта управления, _{Gf (z-1)}, используют систему управления PI замкнутого цикла _GPI(z-1). Эффективность переходного процесса может быть описана в терминах перерегулирования. Перерегулирование уменьшается относительно коэффициента затухания:

$σ = e^{\frac{- π ξ}{\sqrt{1 - ξ^{2}}}}$

где,

σ является перерегулированием.
ξ коэффициент затухания.

Время отклика, _tr, зависит от затухания и собственной частоты, _ωn, такого что:

Если ξ <0.7,
$t_{r} ≅ \frac{4}{ω_{n} ξ} .$
Если ξ ≥ 0.7,
$t_{r} ≅ \frac{6 ξ}{ω_{n}} .$

Общий рабочий процесс для разработки ПИ-контроллера для системы первого порядка:

Дискретизируйте модель объекта управления с помощью метода дискретизации хранения нулевого порядка (ZOH). Таким образом, учитывая, что уравнение первого порядка, представляющее объект,

$G (s) = \frac{K_{m}}{T_{m} s + 1},$
где,
- _Km является коэффициентом усиления первого порядка.
- _Tm является постоянной времени системы первого порядка.
Установка

$s = \frac{1 - z^{- 1}}{z^{- 1} T_{s}},$
приводит к дискретной модели объекта управления,

$G (z^{- 1}) = \frac{K_{m} (\frac{T_{s}}{T_{m}}) z^{- 1}}{1 + (\frac{T_{s} - T_{m}}{T_{m}}) z^{- 1}} = \frac{b_{1} z^{- 1}}{1 + a_{1} z^{- 1}},$
where_Ts является периодом дискретизации дискретного контроллера.
Запишите представление дискретного времени для ПИ-контроллера с помощью того же преобразования. Для

$G_{P I} (s) = K_{P} + K_{I} (\frac{1}{s}),$
установка

$s = \frac{1 - z^{- 1}}{z^{- 1} T_{s}},$
приводит к дискретной модели контроллера,

$G_{P I} (z^{- 1}) = \frac{K_{P} + (K_{I} T_{s} - K_{P}) z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} = \frac{q_{0} + q_{1} z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} .$
Объединение дискретных уравнений для объекта управления и контроллера приводит к передаточной функции замкнутого контура для системы,

$G_{0} (z^{- 1}) = \frac{q_{0} b_{1} z^{- 1} + q_{1} b_{1} z^{- 2}}{1 + (a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}) z^{- 1} + (- a_{1} + q_{1} b_{1}) z^{- 2}},$
Знаменатель передаточной функции является характеристическим полиномом. Таким образом,

$P_{c 0} (z^{- 1}) = 1 + (a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}) z^{- 1} + (- a_{1} + q_{1} b_{1}) z^{- 2} .$
Характеристический полином для достижения необходимой эффективности задан как

$P_{c d} (z^{- 1}) = 1 + α_{1} z^{- 1} + α_{2} z^{- 2},$
где,
- $α_{1} = - 2 e^{- ξ ω_{n} T_{s}} \cos (ω_{n} T_{s} \sqrt{1 - ξ^{2}}) .$
- $α_{2} = e^{- 2 ξ ω_{n} T_{s}} .$
Чтобы определить параметры контроллера, установите характеристический полином для системы, равной характеристическому полиному для необходимой эффективности. Если

$P_{c 0} (z^{- 1}) = P_{c d} (z^{- 1}),$
то

$α_{1} = a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}$
и

$α_{2} = - a_{1} + q_{1} b_{1} .$
Решение для _q0 и выражений _q1

$q_{0} = \frac{α_{1} - a_{1} + 1}{b_{1}}$
и

$q_{1} = \frac{α_{2} + a_{1}}{b_{1}} .$
Поэтому общие уравнения для пропорциональных и интегральных параметров управления для системы первого порядка

$K_{P} = q_{0}$
и

$K_{I} = \frac{q_{1} + K_{p}}{T_{s}} .$

Уравнения для настройки контроллера двигателя постоянного тока

Предполагая, что для системы в модели в качестве примера, _Kb = _Kt, упрощенные математические уравнения для напряжения и крутящего момента двигателя постоянного тока

$v_{a} = L_{a} \frac{d i_{a}}{d t} + R_{a} i_{a} + K_{b} ω$

$T_{e} = J_{m} \frac{d ω}{d t} + B_{m} ω + T_{l o a d} = K_{b} i_{a},$

где:

_va является напряжением якоря.
_ia является током якоря.
_La является индуктивностью якоря.
_Ra является сопротивлением якоря.
ω является скоростью вращения ротора
_Te является крутящим моментом двигателя.
_Tload является крутящим моментом нагрузки.
_Jm является моментом инерции ротора.
_Bm является коэффициентом вязкого трения.
_Kb является коэффициентом пропорциональности.

Чтобы настроить токовый контроллер, примите, что модель линейна, то есть, что противоэлектродвижущая сила, как представлено _Kbω, незначительна. Это предположение допускает приближение модели объекта управления с помощью этого уравнения Лапласа первого порядка:

$G_{i} (s) = \frac{\frac{1}{R_{a}}}{(\frac{L_{a}}{R_{a}}) s + 1} .$

Учитывая системные требования, можно теперь решить для _KP и _KI. Требования для токового контроллера в модели в качестве примера:

Шаг расчета, _Ts = 1 мс.
Промахнитесь, σ = 5%.
Время отклика, _tr = 0,11 с.

Поэтому пропорциональные и интегральные составляющие для токового контроллера:

$K_{P} = 7.7099.$
$K_{I} = 455.1491.$

Чтобы настроить контроллер скорости, аппроксимируйте модель объекта управления простой моделью. Сначала примите, что внутренний контур намного быстрее, чем внешний контур. Также примите, что нет никакой статической ошибки. Эти предположения допускают использование системы первого порядка путем принятия передаточной функции внутреннего контура тока за единицу.

Чтобы вывести вращательную скорость в оборотах в минуту, передаточная функция умножается на коэффициент 30/π. Чтобы взять в качестве управления вводит ток якоря вместо крутящего момента двигателя, передаточная функция умножается на коэффициент пропорциональности, _Kb. Получившееся приближение для модели объекта управления внешнего контура

$G_{n} (s) = \frac{\frac{30 K_{b}}{π B_{m}}}{(\frac{J_{m}}{B_{m}}) s + 1} .$

У У контроллера скорости те же шаг расчета и требования к перерегулированию как и у токового контроллера, но время отклика медленнее, так что:

Шаг расчета _Ts = 1 мс.
Промахнитесь по σ = 5%.
Ответ time_tr = 0,50 с.

Поэтому пропорциональные и интегральные составляющие для контроллера скорости:

$K_{P} = 0.0045$
$K_{I} = 0.0405$