Обзор VaR Backtesting

Market risk является риском потерь в положениях, являющихся результатом перемещений в рыночных ценах. Подверженный риску значения (VaR) является одной из основных мер финансового риска. VaR является оценкой того, сколько значения портфель может проиграть в данном периоде времени с данным доверительным уровнем. Например, если однодневные 95% VaR портфеля составляют 10 мм, то существует 95%-й шанс, что портфель теряет меньше чем 10 мм на следующий день. Другими словами, только 5% времени (или об однажды за 20 дней) потери портфеля превышают 10 мм.

Для многих портфелей, особенно торговых портфелей, VaR ежедневно вычисляется. При закрытии следующего дня фактическая прибыль и потери для портфеля известны и могут сравниться с VaR, оцененным накануне. Можно использовать эти ежедневные данные, чтобы оценить эффективность моделей VaR, которая является целью VaR backtesting. Уровень моделей VaR может быть измерен по-разному. На практике много различных метрик и статистических тестов используются, чтобы идентифицировать модели VaR, которые выполняют плохо или выполняют лучше. Как лучшая практика, используйте больше чем один критерий для backtest эффективность моделей VaR, потому что все тесты имеют достоинства и недостатки.

Предположим, что у вас есть пределы VaR и соответствующие возвраты или прибыль и потери за дни t = 1, …, N. Используйте VaRt, чтобы обозначить оценку VaR за день t (определенный в день t − 1). Используйте Rt, чтобы обозначить фактический возврат или прибыль и потерю, наблюдаемую в день t. Прибыль и потери описываются в денежных единицах и представляют изменения значения в портфеле. Соответствующие пределы VaR также даны в денежных единицах. Возвращается представляют изменение в стоимости портфеля как пропорция (или процент) его значения в предыдущий день. Соответствующие пределы VaR также даны как пропорция (или процент). Пределы VaR должны быть произведены из существующих моделей VaR. Затем чтобы выполнить анализ VaR backtesting, обеспечьте эти пределы и их соответствующие возвраты как вводы данных к инструментам VaR backtesting в Risk Management Toolbox™.

Тулбокс поддерживает их VaR backtests:

Биномиальный тест
Тест светофора
Тесты Купика
Тесты Кристофферсена
Тесты Хааса

Биномиальный тест

Самый прямой тест должен сравнить наблюдаемое количество исключений, x, к ожидаемому количеству исключений. Из свойств биномиального распределения можно создать доверительный интервал для ожидаемого количества исключений. Используя точные вероятности от биномиального распределения или нормального приближения, bin функционируйте использует нормальное приближение. Путем вычисления вероятности наблюдения исключений x можно вычислить вероятность неправильного отклонения хорошей модели, когда исключения x происходят. Это - p - значение для наблюдаемого количества исключений x. Для данного тестового доверительного уровня прямой результат принимать-или-отклонять в этом случае состоит в том, чтобы привести модель VaR к сбою каждый раз, когда x находится вне тестового доверительного интервала для ожидаемого количества исключений. “Вне доверительного интервала” может означать слишком много исключений или слишком мало исключений. Очень небольшим числом исключений может быть знак, что модель VaR слишком консервативна.

Тестовая статистическая величина

$Z_{b i n} = \frac{x - N p}{\sqrt{N p (1 - p)}}$

где x является количеством отказов, N является количеством наблюдений и p = 1 – Уровень VaR. Биномиальный тест приблизительно распределяется как стандартное нормальное распределение.

Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Jorion и bin.

Тест светофора

Изменением на биномиальном тесте, предложенном Базельским Комитетом, является traffic light test или three zones test. Для данного количества исключений x можно вычислить вероятность наблюдения до исключений x. Таким образом, любое количество исключений от 0 до x или интегральной вероятности до x. Вероятность вычисляется с помощью биномиального распределения. Эти три зоны определяются следующим образом:

“Красная” зона запускается в количестве исключений, где эта вероятность равняется или превышает 99,99%. Маловероятно, что слишком много исключений прибывают из правильной модели VaR.
“Желтая” зона покрывает количество исключений, где вероятность равняется или превышает 95%, но меньше, чем 99,99%. Даже при том, что существует высокое количество нарушений, количество нарушения не чрезвычайно высоко.
Все ниже желтой зоны "зелено". Если у вас есть слишком мало отказов, они падают в Зеленой зоне. Слишком много отказов приводят к отклонениям модели.

Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Базельского Комитета по Банковскому надзору и tl.

POF Купика и ТУФОВЫЕ тесты

Kupiec (1995) ввел изменение на биномиальном тесте, названном тестом пропорции отказов (POF). Тест POF работает с подходом биномиального распределения. Кроме того, это использует отношение правдоподобия, чтобы протестировать, синхронизируется ли вероятность исключений с вероятностью p, подразумеваемый доверительным уровнем VaR. Если данные предполагают, что вероятность исключений отличается, чем p, модель VaR отклоняется. Тестовая статистическая величина POF

$L R_{P O F} = - 2 \log (\frac{{(1 - p)}^{N - x} p^{x}}{{(1 - \frac{x}{N})}^{N - x} {(\frac{x}{N})}^{x}})$

где x является количеством отказов, N количество наблюдений и p = 1 – Уровень VaR.

Эта статистическая величина асимптотически распределяется как переменная хи-квадрата с 1 степенью свободы. Модель VaR проваливает тест, если это отношение правдоподобия превышает критическое значение. Критическое значение зависит от тестового доверительного уровня.

Kupiec также предложил, чтобы второй тест вызвал время до первого отказа (TUFF). ТУФОВЫЙ тест смотрит на то, когда первое отклонение произошло. Если это происходит слишком скоро, тест приводит модель VaR к сбою. Проверка только первого исключения пропускает много информации, а именно, что бы ни случилось после того, как первое исключение будет проигнорировано. Тест TBFI расширяет ТУФОВЫЙ подход, чтобы включать все отказы. Смотрите tbfi.

ТУФОВЫЙ тест также основан на отношении правдоподобия, но базовое распределение является геометрическим распределением. Если n является номером дней, пока первое отклонение, тестовой статистической величиной не дают

$L R_{T U F F} = - 2 \log (\frac{p {(1 - p)}^{n - 1}}{(\frac{1}{n}) {(1 - \frac{1}{n})}^{n - 1}})$

Эта статистическая величина асимптотически распределяется как переменная хи-квадрата с 1 степенью свободы. Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Kupiec, pof, и tuff.

Тесты прогноза интервала Кристофферсена

Кристофферсен (1998) предложил тест, чтобы измериться, зависит ли вероятность наблюдения исключения в конкретный день от того, произошло ли исключение. В отличие от безусловной вероятности наблюдения исключения, тест Кристофферсена измеряет зависимость между днями подряд только. Тестовой статистической величиной для независимости в подходе интервала предсказан (IF) Кристофферсена дают

$L R_{C C I} = - 2 \log (\frac{{(1 - π)}^{n 00 + n 10} π^{n 01 + n 11}}{{(1 - π_{0})}^{n 00} π_{0}^{n 01} {(1 - π_{1})}^{n 10} π_{1}^{n 11}})$

где

n 00 = Количество периодов без отказов, сопровождаемых периодом без отказов.
n 10 = Количество периодов с отказами, сопровождаемыми периодом без отказов.
n 01 = Количество периодов без отказов, сопровождаемых периодом с отказами.
n 11 = Количество периодов с отказами, сопровождаемыми периодом с отказами.

π ₀ — Вероятность наличия отказа на периоде t, учитывая, что никакой отказ не произошел на периоде t − 1 = n 01 / (n 00 + n 01)
π ₁ — Вероятность наличия отказа на периоде t, учитывая, что отказ произошел на периоде t − 1 = n 11 / (n 10 + n 11)
π — Вероятность наличия отказа на периоде t = (n 01 + n 11 / (n 00 + n 01 + n 10 + n 11)

Эта статистическая величина асимптотически распределяется как хи-квадрат с 1 степенью свободы. Можно объединить эту статистическую величину с частотой тест POF, чтобы получить условное покрытие (CC) смешанный тест:

_LRCC = _LRPOF + _LRCCI

Этот тест асимптотически распределяется как переменная хи-квадрата с 2 степенями свободы.

Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Кристофферсена, cc, и cci.

Время Хааса между отказами или тест смешанного Купика

Хаас (2001) ТУФОВЫЙ тест расширенного Купика, чтобы включить информацию времени между всеми исключениями в выборке. Тест Хааса применяет ТУФОВЫЙ тест к каждому исключению в выборке и агрегируется, время между отказами (TBF) тестируют статистическую величину.

$L R_{T B F I} = - 2 \sum_{i = 1}^{x} \log (\frac{p {(1 - p)}^{n_{i} - 1}}{(\frac{1}{n_{i}}) {(1 - \frac{1}{n_{i}})}^{n_{i} - 1}})$

В этой статистической величине, p = 1 – Уровень VaR и n _i являются номером дней между отказами i-1 и i (или до первого исключения для i = 1). Эта статистическая величина асимптотически распределяется как переменная хи-квадрата со степенями свободы x, где x является количеством отказов.

Как тест Кристофферсена, можно объединить этот тест с частотой тест POF, чтобы получить TBF смешанный тест, иногда названный тестом смешанного Купика Хааса:

$L R_{T B F} = L R_{P O F} + L R_{T B F I}$

Этот тест асимптотически распределяется как переменная хи-квадрата с x +1 степень свободы. Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Хааса, tbf, и tbfi.

Ссылки

[1] Базельский Комитет по Банковскому надзору, Контрольная среда для использования “backtesting” в сочетании с внутренними моделями приближается к требованиям рискового капитала рынка. Январь 1996, https://www.bis.org/publ/bcbs22.htm.

[2] Кристофферсен, P. "Оценка Прогнозов Интервала". Международный Экономический Анализ. Издание 39, 1998, стр 841–862.

[3] Cogneau, P. “Подверженный риску значения Backtesting: насколько хороший модель?" Интеллектуальный Риск, PRMIA, июль 2015.

[4] Хаас, M. "Новые методы в Backtesting". Финансовая разработка, научно-исследовательский центр Цезарь, Бонн, 2001.

[5] Jorion, P. Финансовое руководство менеджера по рискам. 6-й выпуск, финансы Вайли, 2011.

[6] Kupiec, P. "Методы для Проверки Точности Моделей управления рисками". Журнал Производных. Издание 3, 1995, стр 73–84.

[7] Макнейл, A., Фрэй, R. и Embrechts, P. Количественное управление рисками. Издательство Принстонского университета, 2005.

[8] Nieppola, O. “Backtesting подверженные риску значения модели”. Магистерская диссертация, Хельсинская школа экономики, 2009.

Документация