Документация

Робастность в терминах сингулярных значений

Сингулярные значения S (j ω) определяют затухание воздействия, потому что S (s) является на самом деле передаточной функцией с обратной связью от воздействия, d, чтобы посадить выход y — видит Блок-схему Многомерной Системы Управления с обратной связью. Таким образом требования по производительности затухания воздействия могут быть записаны как

где $$\left|W_1^{-1}\left(j\omega \right)\right|$$ желаемый фактор затухания воздействия. Разрешение $$\left|W_1\left(j\omega \right)\right|$$ чтобы зависеть от частоты, ω позволяет вам задать различный фактор затухания для каждой частоты ω.

Диаграммы Боде сингулярного значения R (s) и T (s) используются, чтобы измерить запасы устойчивости многомерных проектов обратной связи перед лицом аддитивных возмущений объекта _ΔA и мультипликативные возмущения объекта _ΔM, соответственно. Смотрите следующую фигуру.

Рассмотрите, как Диаграмма Боде сингулярного значения дополнительной чувствительности T (s) определяет запас устойчивости для мультипликативных возмущений _ΔM. Мультипликативный запас устойчивости является, по определению, "размером" самого маленького устойчивого _ΔM (s), который дестабилизирует систему на рисунке ниже когда _ΔA = 0.

Взятие $$\overline{\sigma }\left({\Delta }_M\left(j\omega \right)\right)$$ чтобы быть определением "размера" _ΔM (jω), у вас есть следующая полезная характеристика "мультипликативной" робастности устойчивости:

Меньшее $$\overline{\sigma }\left(T\left(j\omega \right)\right)$$, чем больше будет размер самого маленького дестабилизирующего мультипликативного возмущения, и следовательно, тем больше будет запас устойчивости.

Подобный результат доступен для связи запаса устойчивости перед лицом аддитивных возмущений объекта _ΔA (s) к R (s), если вы берете $$\overline{\sigma }\left({\Delta }_A\left(j\omega \right)\right)$$ быть определением "размера" _ΔA (jω) на частоте ω.

В результате теорем робастности 1 и 2, распространено задать запасы устойчивости систем управления через неравенства сингулярного значения такой как

где |W2 (jω) | и |W3 (jω) | являются соответствующими размерами крупнейших ожидаемых аддитивных и мультипликативных возмущений объекта.

Это - установившаяся практика, чтобы смешать эффекты всей неопределенности объекта в одно фиктивное мультипликативное возмущение _ΔM, так, чтобы требования системы управления могли быть записаны

как показано в Технических требованиях Сингулярного значения на L, S, и T.

Интересно отметить это в верхней половине фигуры (выше линии на 0 дБ),

в то время как в более низкой половине Технических требований Сингулярного значения на L, S, и T (ниже линии на 0 дБ),

Это следует из факта это

если $$\underset{¯}{\sigma }\left(L\left(s\right)\right)\gg 1$$, и

если $$\overline{\sigma }\left(L\left(s\right)\right)\ll 1$$.

Таким образом весьма распространено видеть технические требования на затухании воздействия и мультипликативном запасе устойчивости, описанном непосредственно в терминах запретных областей для Диаграмм Боде _σi (L (jω)) как "цикл сингулярного значения, формирующий" требования, или как заданные верхние / нижние границы или когда цель желала, чтобы форма цикла — видела предыдущую фигуру.

Гарантируемое Усиление/Запасы по фазе в Системах MIMO

Для тех, кто более доволен классическими одноконтурными концепциями, существуют важные связи между мультипликативными запасами устойчивости, предсказанными $$\overline{\sigma }\left(T\right)$$ и предсказанные классическими M-кругами, как найдено на графике Николса. Действительно в single-input/single-output случае,

который является точно количеством, вы получаете из M-кругов графика Николса. Таким образом, $${\Vert T\Vert }_{\infty }$$ многоконтурное обобщение резонансной пиковой величины с обратной связью, которая, как классические эксперты по управлению распознают, тесно связана с коэффициентом затухания доминирующих полюсов с обратной связью. Кроме того, оказывается, что можно иметь отношение $${\Vert T\Vert }_{\infty }$$, $${\Vert S\Vert }_{\infty }$$ к классическому запасу по амплитуде _GM и запас по фазе _θM в каждой обратной связи многомерной системы с обратной связью Блок-схемы Многомерной Системы Управления с обратной связью через формулы:

(См. [6].) Эти формулы допустимы обеспеченный $${\Vert S\Vert }_{\infty }$$ и $${\Vert T\Vert }_{\infty }$$ больше, чем 1, когда обычно имеет место. Поля применяются, даже когда возмущения усиления или возмущения фазы происходят одновременно в нескольких каналах обратной связи.

Нормы по бесконечности S и T также дают к допускам сокращения усиления. Допуск сокращения усиления _gm задан, чтобы быть минимальной суммой, которой должны были бы быть уменьшены усиления в каждом цикле для того, чтобы дестабилизировать систему. Верхние границы на _gm следующие:

Используя LOOPSYN, чтобы сделать формирование цикла H-бесконечности

Команда loopsyn позволяет вам спроектировать стабилизировавшийся контроллер обратной связи, чтобы оптимально сформировать частотную характеристику разомкнутого контура системы управления с обратной связью MIMO, чтобы соответствовать максимально тесно, желаемый цикл формирует Gd. Базовый синтаксис loopsyn формирующая цикл команда синтеза контроллера:

K = loopsyn(G,Gd)

Здесь G матрица передаточной функции LTI модели объекта управления MIMO, Gd желаемая форма цикла цели для передаточной функции цикла L=G*K, и K оптимальный формирующий цикл контроллер. Контроллер LTI K имеет свойство, что оно формирует цикл L=G*K так, чтобы это совпадало с частотной характеристикой Gd максимально тесно согласно ограничению, что компенсатор должен стабилизировать модель объекта управления G.