factoran

Факторный анализ

свернуть все на странице

Синтаксис

lambda = factoran(X,m)
[lambda,psi] = factoran(X,m)
[lambda,psi,T] = factoran(X,m)
[lambda,psi,T,stats] = factoran(X,m)
[lambda,psi,T,stats,F] = factoran(X,m)
___ = factoran(X,m,Name,Value)

Описание

factoran вычисляет оценку наибольшего правдоподобия (MLE) матрицы факторных нагрузок Λ в модели факторного анализа

x=μ+Λf+e

где x является вектором из наблюдаемых переменных, μ является постоянным вектором из средних значений, Λ является постоянный d- m матрица факторных нагрузок, f является вектором из независимых, стандартизированных общих множителей, и e является вектором из независимых специфических факторов. x, μ и e у каждого есть длина d. f имеет длину m.

В качестве альтернативы модель факторного анализа может быть задана как

cov(x)=ΛΛT+Ψ

где Ψ=cov(e) d- d диагональная матрица определенных отклонений.

Для использования factoran и его отношение к pca, смотрите Выполняют Факторный анализ Классов Экзамена.

пример

lambda = factoran(X,m) возвращает матрицу факторных нагрузок lambda для матрицы данных X с m общие множители.

пример

[lambda,psi] = factoran(X,m) также возвращает оценки наибольшего правдоподобия определенных отклонений.

пример

[lambda,psi,T] = factoran(X,m) также возвращает m- m матрица вращения факторных нагрузок T.

пример

[lambda,psi,T,stats] = factoran(X,m) также возвращает структуру stats содержа информацию, относящуюся к нулевой гипотезе H0, что количеством общих множителей является m.

пример

[lambda,psi,T,stats,F] = factoran(X,m) также возвращает предсказания общих множителей (факторные баллы).

пример

___ = factoran(X,m,Name,Value) изменяет подгонку модели и выходные параметры с помощью одного или нескольких аргументов пары "имя-значение", для любых выходных аргументов в предыдущих синтаксисах. Например, можно указать что X данные являются ковариационной матрицей.

Примеры

свернуть все

Скрипт Open Live Script

Создайте некоторые псевдослучайные необработанные данные.

rng default % For reproducibility
n = 100;
X1 = 5 + 3*rand(n,1); % Factor 1
X2 = 20 - 5*rand(n,1); % Factor 2

Создайте шесть векторов данных из необработанных данных и добавьте случайный шум.

Y1 = 2*X1 + 3*X2 + randn(n,1);
Y2 = 4*X1 + X2 + 2*randn(n,1);
Y3 = X1 - X2 + 3*randn(n,1);
Y4 = -2*X1 + 4*X2 + 4*randn(n,1);
Y5 = 3*(X1 + X2) + 5*randn(n,1);
Y6 = X1 - X2/2 + 6*randn(n,1);

Создайте матрицу данных из векторов данных.

X = [Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6];

Извлеките эти два фактора из матрицы зашумленных данных X использование factoran. Отобразите выводы.

m = 2;
[lambda,psi,T,stats,F] = factoran(X,m);
disp(lambda)
    0.8666    0.4828
    0.8688   -0.0998
   -0.0131   -0.5412
    0.2150    0.8458
    0.7040    0.2678
   -0.0806   -0.2883

disp(psi)
    0.0159
    0.2352
    0.7070
    0.2385
    0.4327
    0.9104

disp(T)
    0.8728    0.4880
    0.4880   -0.8728

disp(stats)
    loglike: -0.0531
        dfe: 4
      chisq: 5.0335
          p: 0.2839

disp(F(1:10,:))
    1.8845   -0.6568
   -0.1714   -0.8113
   -1.0534    2.0743
    1.0390   -1.1784
    0.4309    0.9907
   -1.1823    0.6570
   -0.2129    1.1898
   -0.0844   -0.7421
    0.5854   -1.1379
    0.8279   -1.9624

Просмотрите корреляционную матрицу данных.

corrX = corr(X)
corrX = 6×6

    1.0000    0.7047   -0.2710    0.5947    0.7391   -0.2126
    0.7047    1.0000    0.0203    0.1032    0.5876    0.0289
   -0.2710    0.0203    1.0000   -0.4793   -0.1495    0.1450
    0.5947    0.1032   -0.4793    1.0000    0.3752   -0.2134
    0.7391    0.5876   -0.1495    0.3752    1.0000   -0.2030
   -0.2126    0.0289    0.1450   -0.2134   -0.2030    1.0000

Сравните corrX к его соответствующим значениям, возвращенным factoran, lambda*lambda' + diag(psi).

C0 = lambda*lambda' + diag(psi)
C0 = 6×6

    1.0000    0.7047   -0.2726    0.5946    0.7394   -0.2091
    0.7047    1.0000    0.0426    0.1023    0.5849   -0.0413
   -0.2726    0.0426    1.0000   -0.4605   -0.1542    0.1571
    0.5946    0.1023   -0.4605    1.0000    0.3779   -0.2611
    0.7394    0.5849   -0.1542    0.3779    1.0000   -0.1340
   -0.2091   -0.0413    0.1571   -0.2611   -0.1340    1.0000

factoran получает lambda и psi это соответствует тесно корреляционной матрице исходных данных.

Просмотрите результаты, не используя вращение.

[lambda,psi,T,stats,F] = factoran(X,m,'Rotate','none');
disp(lambda)
    0.9920    0.0015
    0.7096    0.5111
   -0.2755    0.4659
    0.6004   -0.6333
    0.7452    0.1098
   -0.2111    0.2123

disp(psi)
    0.0159
    0.2352
    0.7070
    0.2385
    0.4327
    0.9104

disp(T)
     1     0
     0     1

disp(stats)
    loglike: -0.0531
        dfe: 4
      chisq: 5.0335
          p: 0.2839

disp(F(1:10,:))
    1.3243    1.4929
   -0.5456    0.6245
    0.0928   -2.3246
    0.3318    1.5356
    0.8596   -0.6544
   -0.7114   -1.1504
    0.3947   -1.1424
   -0.4358    0.6065
   -0.0444    1.2789
   -0.2350    2.1169

Вычислите факторы с помощью только ковариационную матрицу X.

X2 = cov(X);
[lambda2,psi2,T2,stats2] = factoran(X2,m,'Xtype','covariance','Nobs',n)
lambda2 = 6×2

    0.8666    0.4828
    0.8688   -0.0998
   -0.0131   -0.5412
    0.2150    0.8458
    0.7040    0.2678
   -0.0806   -0.2883


psi2 = 6×1

    0.0159
    0.2352
    0.7070
    0.2385
    0.4327
    0.9104


T2 = 2×2

    0.8728    0.4880
    0.4880   -0.8728


stats2 = struct with fields:
    loglike: -0.0531
        dfe: 4
      chisq: 5.0335
          p: 0.2839

Результаты эквивалентны с необработанными данными, кроме factoran не может вычислить факторную матрицу баллов F для данных о ковариации.

Скрипт Open Live Script

Загрузите выборочные данные.

load carbig

Задайте переменную матрицу.

X = [Acceleration Displacement Horsepower MPG Weight]; 
X = X(all(~isnan(X),2),:);

Оцените факторные нагрузки с помощью минимального предсказания среднеквадратической ошибки для факторного анализа с двумя общими множителями.

[Lambda,Psi,T,stats,F] = factoran(X,2,'Scores','regression');
inv(T'*T);   % Estimated correlation matrix of F, == eye(2)
Lambda*Lambda' + diag(Psi); % Estimated correlation matrix
Lambda*inv(T);              % Unrotate the loadings
F*T';                       % Unrotate the factor scores

Создайте побочную сюжетную линию двух факторов.

biplot(Lambda,'LineWidth',2,'MarkerSize',20)

Оцените факторные нагрузки с помощью ковариации (или корреляция) матрица.

[Lambda,Psi,T] = factoran(cov(X),2,'Xtype','covariance')
Lambda = 5×2

   -0.2432   -0.8500
    0.8773    0.3871
    0.7618    0.5930
   -0.7978   -0.2786
    0.9692    0.2129


Psi = 5×1

    0.2184
    0.0804
    0.0680
    0.2859
    0.0152


T = 2×2

    0.9476    0.3195
    0.3195   -0.9476

(Вы могли вместо этого использовать corrcoef(X) вместо cov(X) создать данные для factoran.) Несмотря на то, что оценки являются тем же самым, использование ковариационной матрицы, а не необработанных данных препятствует тому, чтобы вы запросили уровень значения или баллы.

Используйте промакс. вращение.

[Lambda,Psi,T,stats,F] = factoran(X,2,'Rotate','promax','power',4);
inv(T'*T)                            % Estimated correlation of F, no longer eye(2)
ans = 2×2

    1.0000   -0.6391
   -0.6391    1.0000


Lambda*inv(T'*T)*Lambda'+diag(Psi)   % Estimated correlation of X
ans = 5×5

    1.0000   -0.5424   -0.6893    0.4309   -0.4167
   -0.5424    1.0000    0.8979   -0.8078    0.9328
   -0.6893    0.8979    1.0000   -0.7730    0.8647
    0.4309   -0.8078   -0.7730    1.0000   -0.8326
   -0.4167    0.9328    0.8647   -0.8326    1.0000

Постройте невращаемые переменные с наклонными наложенными осями.

invT = inv(T);
Lambda0 = Lambda*invT;
figure()
line([-invT(1,1) invT(1,1) NaN -invT(2,1) invT(2,1)], ...
     [-invT(1,2) invT(1,2) NaN -invT(2,2) invT(2,2)], ...
     'Color','r','LineWidth',2)
grid on
hold on
biplot(Lambda0,'LineWidth',2,'MarkerSize',20)       
xlabel('Loadings for unrotated Factor 1')
ylabel('Loadings for unrotated Factor 2')

Постройте вращаемые переменные против наклонных осей.

figure()
biplot(Lambda,'LineWidth',2,'MarkerSize',20)

Входные параметры

свернуть все

Данные в виде n- d матрица, где каждая строка является наблюдением за d переменные.

Типы данных: double

Количество общих множителей в виде положительного целого числа.

Пример 3

Типы данных: double

Аргументы в виде пар имя-значение

Задайте дополнительные разделенные запятой пары Name,Value аргументы. Name имя аргумента и Value соответствующее значение. Name должен появиться в кавычках. Вы можете задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке, например: Name1, Value1, ..., NameN, ValueN.

Пример: lambda = factoran(X,m,'Start',10,'Scores','Thomson') задает, чтобы использовать начальную точку для определенных отклонений 10 и Томсоновский метод для предсказания факторных баллов.

Тип входных данных XВ виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Xtype' и одно из следующего:

  • 'data' X необработанные данные.

  • 'covariance' X положительная определенная ковариация или корреляционная матрица.

Пример: 'Xtype','covariance'

Типы данных: char | string

Метод для предсказания факторных баллов в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Scores' и одно из следующего:

  • 'wls' или эквивалентный 'Bartlett' — Метод взвешенных наименьших квадратов оценивает обработку F как зафиксировано

  • 'regression' или эквивалентный 'Thomson' — Минимальное предсказание среднеквадратической ошибки, которое эквивалентно гребенчатой регрессии

Пример: 'Scores','regression'

Типы данных: char | string

Начальная точка для определенных отклонений psi в оптимизации наибольшего правдоподобия в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Start' и одно из следующего:

  • 'Rsquared' — Выбирает стартовый вектор в качестве масштабного коэффициента времена diag(inv(corrcoef(X))) (значение по умолчанию). Для примеров смотрите Jöreskog [2].

  • 'random' — Выбирает d равномерно распределенные значения на интервале [0,1].

  • Положительное целое число — Выполняет возмущенное количество наибольшего правдоподобия, каждый инициализированный таким же образом как 'random'. factoran возвращает подгонку с самой высокой вероятностью.

  • Матрица с d строки — Выполняют одно наибольшее правдоподобие, подходящее для каждого столбца заданной матрицы. factoran инициализирует iоптимизация th со значениями от iстолбец th.

Пример: 'Start',5

Типы данных: double | char | string

Метод раньше вращал факторные нагрузки и баллы в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Rotate' и одно из значений в следующей таблице. Можно управлять вращением путем определения дополнительных аргументов пары "имя-значение" rotatefactors функция, как описано в таблице. Для получения дополнительной информации смотрите rotatefactors.

ЗначениеОписание

'none'

Не выполняет вращения

'equamax'

Особый случай 'orthomax' вращение. Используйте 'normalize''RelTol' , и 'maxit' аргументы, чтобы управлять деталями вращения.

'orthomax'

Ортогональное вращение, которое максимизирует критерий на основе отклонения загрузок. Используйте 'coeff', 'normalize''RelTol' , и 'maxit' аргументы, чтобы управлять деталями вращения.

'parsimax'

Особый случай ортомакс. вращения. Используйте 'normalize''RelTol' , и 'maxit' аргументы, чтобы управлять деталями вращения.

'pattern'

Выполняет любого наклонное вращение (значение по умолчанию) или ортогональное вращение, чтобы лучше всего совпадать с заданной матрицей шаблона. Используйте 'type' аргумент, чтобы выбрать тип вращения. Используйте 'target' аргумент, чтобы задать матрицу шаблона.

'procrustes'

Выполняет любого наклонное вращение (значение по умолчанию) или ортогональное вращение, чтобы лучше всего совпадать с заданной целевой матрицей в смысле наименьших квадратов. Используйте 'type' аргумент, чтобы выбрать тип вращения. Используйте 'target' аргумент, чтобы задать целевую матрицу.

'promax'

Выполняет наклонное procrustes вращение к целевой матрице, определенной factoran как функция ортомакс. решения. Используйте 'power' аргумент, чтобы задать экспоненту для создания целевой матрицы. Поскольку 'promax' использование 'orthomax' внутренне, можно также задать аргументы, которые применяются к 'orthomax'.

'quartimax'

Особый случай 'orthomax' вращение. Используйте 'normalize''RelTol' , и 'maxit' аргументы, чтобы управлять деталями вращения.

'varimax'

Особый случай 'orthomax' вращение (значение по умолчанию). Используйте 'normalize''RelTol' , и 'maxit' аргументы, чтобы управлять деталями вращения.

указатель на функцию

Указатель на функцию к функции вращения формы

[B,T] = myrotation(A,...)

где A d- m матрица невращаемых факторных нагрузок, B d- m матрица вращаемых загрузок и T соответствующий m- m матрица вращения.

Используйте factoran аргумент 'UserArgs' передать дополнительные аргументы этой функции вращения. Смотрите Пользовательскую Функцию Вращения.

Пример: [lambda,psi,T] = factoran(X,m,'Rotate','promax','power',5,'maxit',100)

Типы данных: char | string | function_handle

Нижняя граница для psi аргумент во время оптимизации наибольшего правдоподобия в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Delta' и скалярное значение между 0 и 1 (0 <Delta < 1).

Пример: 0.02

Типы данных: double

Опции для оптимизации наибольшего правдоподобия в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'OptimOpts' и структура создается statset. Можно ввести statset('factoran') для списка опций, которые также описаны в следующей таблице.

Имя поля (statset аргумент)ЗначениеЗначение {значение по умолчанию}
'Display'

Объем информации отображен алгоритмом

  • {'off'} — Отображения никакая информация

  • 'final' — Отображает окончательный вывод

  • 'iter' — Отображает итеративный вывод к командному окну для некоторых функций; в противном случае отображает окончательный вывод

MaxFunEvals

Максимальное количество оценок целевой функции позволено

Положительное целое число, {400}
MaxIter

Максимальное количество итераций позволено

Положительное целое число, {100}
TolFun

Допуск завершения к значению целевой функции. Решатель останавливается, когда последовательные значения функции меньше TolFun независимо.

Положительная скалярная величина, {1e-8}
TolX

Допуск завершения к параметрам. Решатель останавливается, когда последовательные значения параметров меньше TolX независимо.

Положительная скалярная величина, {1e-8}

Пример: statset('Display','iter')

Типы данных: struct

Количество наблюдений раньше оценивало XВ виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Nobs' и положительное целое число. Nobs применяется только когда Xtype 'covariance'. Определение 'Nobs' позволяет вам получить stats поля chisq структуры output и p.

Пример: 50

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

Факторные нагрузки, возвращенные как d- m матрица. d количество столбцов матрицы данных X, и m второй входной параметр factoran.

(i,j)элемент th lambda коэффициент или загрузка, jфактор th для iпеременная th. По умолчанию, factoran вызывает функциональный rotatefactors вращать предполагаемые факторные нагрузки с помощью 'varimax' опция. Для получения информации о вращении смотрите Вращение Факторных нагрузок и Баллов.

Определенные дисперсии, возвращенные как d- 1 вектор. d количество столбцов матрицы данных X. Записи psi оценки наибольшего правдоподобия.

Вращение факторных нагрузок, возвращенное как m- m матрица. m второй входной параметр factoran. Для получения информации о вращении смотрите Вращение Факторных нагрузок и Баллов.

Информация об общих множителях, возвращенных как структура. stats содержит информацию, относящуюся к нулевой гипотезе H0, что количеством общих множителей является m.

stats содержит следующие поля.

Поле Описание
loglike

Максимизируемое значение логарифмической правдоподобности

dfe

Ошибочные степени свободы = ((d-m)^2 - (d+m))/2

chisq

Аппроксимируйте статистическую величину в квадрате хи для нулевой гипотезы

p

Уровень значения правильного хвоста для нулевой гипотезы

factoran не вычисляет chisq и p поля, если dfe положительно и все определенные оценки отклонения в psi положительны (см. Случай Хейвуда). Если X ковариационная матрица, и вы хотите factoran вычислить chisq и p поля, затем необходимо также задать 'Nobs' аргумент пары "имя-значение".

Факторные баллы, также названные предсказаниями общих множителей, возвратились как n- m матрица. n количество строк в матрице данных X, и m второй входной параметр factoran.

Примечание

Если X ковариационная матрица (Xtype = 'covariance'), factoran не может вычислить F.

factoran вращает F использование того же критерия что касается lambda. Для получения информации о вращении смотрите Вращение Факторных нагрузок и Баллов.

Больше о

свернуть все

Случай Хейвуда

Если элементы psi равны значению Delta параметр (то есть, они - по существу нуль), подгонка известна как случай Хейвуда, и интерпретация получившихся оценок проблематична. В частности, может быть несколько локальных максимумов вероятности, каждого с различными оценками загрузок и определенных отклонений. Случаи Хейвуда могут указать на сверхподбор кривой (m является слишком большим), но может также быть результат underfitting.

Вращение факторных нагрузок и баллов

Если вы явным образом не задаете вращения с помощью 'Rotate' аргумент пары "имя-значение", factoran вращает предполагаемые факторные нагрузки lambda и факторные баллы F. Выходная матрица T используется, чтобы вращать загрузки, то есть,   lambda = lambda0*T, где lambda0 начальная буква (невращаемый) MLE загрузок. T ортогональная матрица для ортогональных вращений и единичная матрица ни для какого вращения. Инверсия T известен как первичную матрицу вращения оси, тогда как T самостоятельно связан со ссылочной матрицей вращения оси. Для ортогональных вращений эти два идентичны.

factoran вычисляет факторные баллы, которые вращались inv(T'), то есть,     F = F0 * inv(T'), где F0 содержит невращаемые предсказания. Предполагаемая ковариация F inv(T'*T), который является единичной матрицей для ортогонального или никакого вращения. Вращение факторных нагрузок и баллов является попыткой создать структуру, которую легче интерпретировать в матрице загрузок после оценки наибольшего правдоподобия.

Пользовательская функция вращения

Синтаксис для передачи дополнительных аргументов к пользовательской функции вращения:

[Lambda,Psi,T] = ...
     factoran(X,2,'Rotate',@myrotation,'UserArgs',1,'two');

Ссылки

[1] Харман, Гарри Гораций. Современный факторный анализ. 3-й Эд. Чикаго: нажатие Чикагского университета, 1976.

[2] Jöreskog, K. G. “Некоторые Вклады в Факторный анализ Наибольшего правдоподобия”. Psychometrika 32, № 4 (декабрь 1967): 443–82. https://doi.org/10.1007/BF02289658

[3] Lawley, D. N. и А. Э. Максвелл. Факторный анализ как статистический метод. 2-й Эд. Нью-Йорк: American Elsevier Publishing Co., 1971.

Расширенные возможности

Смотрите также

| | | | |

Темы

Представлено до R2006a

Документация Statistics and Machine Learning Toolbox

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте