Вейвлет и масштабирующиеся функции
[ возвращает phi,psi,xval] = wavefun(wname,iter)psi и phi, приближения вейвлета и масштабирующихся функций, соответственно, сопоставили с ортогональным вейвлетом wname, или вейвлет Мейера. Приближения оценены на узлах решетки xval. Положительный целочисленный iter задает количество вычисленных итераций.
[ возвращает приближения вейвлета и масштабирующихся функций, сопоставленных с биоортогональным вейвлетом phi1,psi1,phi2,psi2,xval] = wavefun(wname,iter)wname. Вейвлет и масштабирующий функциональные приближения psi1 и phi1, соответственно, для разложения. Вейвлет и масштабирующий функциональные приближения psi2 и phi2, соответственно, для реконструкции.
[___] = wavefun( строит вейвлет, и масштабирующий функциональные приближения сгенерировал использование wname,A,B)макс. ( итерации. Выходные аргументы являются дополнительными.A,B)
[___] = wavefun( эквивалентно wname,0)[___] = wavefun(.wname,8,0)
[___] = wavefun( эквивалентно wname)[___] = wavefun(.wname,8)
В этом примере показано, как количество итераций влияет на кусочное приближение заданного вейвлета.
Задайте количество итераций и имени вейвлета.
wname = 'sym4';
itr = 10;Постройте кусочное приближение вейвлета, сгенерированного после одной итерации.
[~,psi,xval] = wavefun(wname,1); plot(xval,psi,'x-') grid on title(['Approximation of ',wname,' Wavelet'])
Варьируйтесь количество итераций от один до четыре и постройте приближения. Заметьте это, в то время как количество итераций растет, также - количество точек выборки.
figure for k=1:4 [~,psi,xval] = wavefun(wname,k); subplot(2,2,k) plot(xval,psi,'x-') axis tight grid on title(['Number of Iterations: ',num2str(k)]) end
Теперь варьируйтесь количество итераций от одного до номера, заданного itr.
figure for k=1:itr [~,psi,xval] = wavefun(wname,k); plot(xval,psi) hold on end grid on title(['Approximations of ',wname,' for 1 to ',num2str(itr),' iterations'])
В этом примере показано, как построить приближения масштабирования и функций вейвлета, сопоставленных с биоортогональным вейвлетом.
Задайте имя биоортогонального вейвлета.
wname = 'bior3.7';Постройте приближения масштабирования и функций вейвлета, сопоставленных с заданным биоортогональным вейвлетом с помощью количества по умолчанию итераций. Постройте приближения и для разложения и для реконструкции.
wavefun(wname,0);
Для сжато поддерживаемых вейвлетов, заданных фильтрами, в целом никакая закрытая форма существует аналитическая формула.
Используемый алгоритм является каскадным алгоритмом. Это использует одноуровневый обратный вейвлет неоднократно, преобразовывают.
Давайте начнем с масштабирующейся функции ϕ.
Поскольку ϕ также равен ϕ0,0, эта функция характеризуется следующими коэффициентами в ортогональной среде:
<ϕ, ϕ0,n> = 1, только если n = 0 и равный 0 в противном случае
<ϕ, ψ−j,k> = 0 для положительного j и всего k.
Это расширение может быть просмотрено как структура разложения вейвлета. Коэффициенты детали являются всеми нулями, и коэффициенты приближения являются всеми нулями кроме одного равного 1.
Затем мы используем алгоритм реконструкции, чтобы аппроксимировать функцию ϕ по двухместной сетке, согласно следующему результату:
Для любого двухместного рациональный из формы x = n 2−j, в котором функция непрерывна и где j является достаточно большим, у нас есть pointwise сходимость и
где C является константой, и α является положительной константой в зависимости от регулярности вейвлета.
Затем с помощью хорошего приближения ϕ на двухместном rationals, мы можем использовать кусочные постоянные или кусочные линейные интерполяции η на двухместных интервалах, для которых равномерная сходимость происходит с подобным экспоненциальным уровнем:
Так с помощью J - схема реконструкции шага, мы получаем приближение, которое сходится экспоненциально к ϕ, когда J переходит к бесконечности.
Приближения вычисляются по сетке двухместного rationals покрытие поддержки функции, которая будет аппроксимирована.
Начиная с масштабированной версии функции вейвлета на ψ можно также подробно остановиться (ϕ−1, n)), n, та же схема может использоваться после одноуровневой реконструкции начиная с соответствующей структуры разложения вейвлета. Коэффициенты приближения являются всеми нулями и детализируют коэффициенты, все нули кроме одного равного 1.
Для биоортогональных вейвлетов те же идеи могут быть применены на каждую из двух схем мультиразрешения в дуальности.
Примечание
Этот алгоритм может отличаться, если функция, которая будет аппроксимирована, не непрерывна на двухместном rationals.
[1] Daubechies, я. Десять лекций по вейвлетам. CBMS-NSF региональный ряд конференции в прикладной математике. Филадельфия, PA: общество промышленной и прикладной математики, 1992.
[2] Странг, G. и Т. Нгуен. Вейвлеты и наборы фильтров. Веллесли, MA: Wellesley-Кембриджское нажатие, 1996.