Индексы пассивности

В этом примере показано, как вычислить различные меры пассивности для линейных независимых от времени систем.

Пассивные системы

Линейная система G (s) является пассивным элементом когда все траектории ввода-вывода (u(t),y(t)) удовлетворить

0TyT(t)u(t)dt>0,T>0

где yT(t) обозначает транспонирование y(t).

Чтобы измериться, "насколько пассивный" система, мы используем индексы пассивности.

  • Входной индекс пассивности задан как самое большое ν таким образом, что

0TyT(t)u(t)dt>ν0TuT(t)u(t))dt

Система G "вводится строго пассивная" (ISP) когда ν>0. ν также называется "вход пассивность прямого распространения" (IFP) индексируют, и соответствует минимальному действию прямого распространения, должен был сделать системный пассивный элемент.

  • Выходной индекс пассивности задан как самое большое ρ таким образом, что

0T(yT(t)u(t)dt>ρ0TyT(t)y(t))dt

Система G "выводится строго пассивная" (OSP) когда ρ>0. ρ также называется "выходная пассивность обратной связи" (OFP) индексируют, и соответствует минимальному действию обратной связи, должен был сделать системный пассивный элемент.

  • Индекс пассивности ввода-вывода задан как самое большое τ таким образом, что

0TyT(t)u(t)dt>τ0T(uT(t)u(t)+yT(t)y(t))dt

Система "очень строго пассивна" (VSP) если τ>0.

Пример схемы

Рассмотрите следующий пример. Мы берем ток I как вход и напряжение V как выход. На основе тока Кирхгоффа и закона о напряжении, мы получаем передаточную функцию для G(s),

G(s)=V(s)I(s)=(Ls+R)(Rs+1C)Ls2+2Rs+1C.

Пусть R=2, L=1 и C=0.1.

R = 2; L = 1; C = 0.1; 
s = tf('s');
G = (L*s+R)*(R*s+1/C)/(L*s^2 + 2*R*s+1/C);

Используйте isPassive проверять ли G(s) пассивный элемент.

PF = isPassive(G)
PF = logical
   1

Начиная с PF = верный, G(s) пассивный элемент. Используйте getPassiveIndex вычислить индексы пассивности G(s).

% Input passivity index
nu = getPassiveIndex(G,'in')
nu = 2
% Output passivity index
rho = getPassiveIndex(G,'out')
rho = 0.2857
% I/O passivity index
tau = getPassiveIndex(G,'io')
tau = 0.2642

С тех пор τ>0, система G(s) очень строго пассивно.

Характеристика частотного диапазона

Линейная система является пассивным элементом, если и только если это "положительно действительный":

G(jω)+GH(jω)>0ωR.

Самое маленькое собственное значение левой стороны связано с входным индексом пассивности ν:

ν=12minωλmin(G(jω)+GH(jω))

где λmin обозначает самое маленькое собственное значение. Точно так же, когда G(s) минимальная фаза, выходным индексом пассивности дают:

ρ=12minωλmin(G-1(jω)+G-H(jω)).

Проверьте это для примера схемы. Постройте годограф Найквиста передаточной функции схемы.

nyquist(G)

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. This object represents G.

Целый годограф Найквиста находится в правой полуплоскости так G(s) положителен действительный. Крайняя левая точка на кривой Найквиста (x,y)=(2,0) таким образом, входной индекс пассивности ν=2, то же значение мы получили ранее. Точно так же крайняя левая точка на Найквисте изгибается для G-1(s) дает выходное значение индекса пассивности ρ=0.286.

Относительный индекс пассивности

Можно показать что "положительное действительное" условие

G(jω)+GH(jω)>0ωR

эквивалентно небольшому условию усиления

||(I-G(jω))(I+G(jω))-1||<1ωR.

Относительный индекс пассивности (R-индекс) является пиковым усилением по частоте (I-G)(I+G)-1 когда I+G минимальная фаза, и + в противном случае:

R=(I-G)(I+G)-1.

Во временном интервале R-индекс является самым маленьким r>0 таким образом, что

0T||y-u||2dt<r20T||y+u||2dt

Система G(s) пассивный элемент если и только если R<1, и меньшее R более пассивное, которое система. Используйте getPassiveIndex вычислить R-индекс для примера схемы.

R = getPassiveIndex(G)
R = 0.5556

Получившееся R значение указывает, что схема является очень пассивной системой.

Смотрите также

|

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте