Интерполяция кубическим сплайном
Примечание
Для более простого, но менее гибкого метода, чтобы интерполировать кубические сплайны, попробуйте приложение Curve Fitting или fit функционируйте и займитесь Сглаживанием Сплайнов.
pp=csapi(x,y)x это принимает значения y(:,j) в x(j) для j=1:length(x). Значения y(:,j) могут быть скаляры, векторы, матрицы и массивы ND. Функциональные средние значения точки данных с тем же сайтом данных и затем сортируют их по своим сайтам. С x получившиеся отсортированные сайты данных, сплайн s удовлетворяет граничным условиям и условиям отсутствия узла, такой как
где D 3s является третьей производной s.
Если x массив ячеек последовательностей x1..., xm из длин n1..., nm, затем y массив размера [n1,...,nm] (или размера [d,n1,...,nm] если interpolant является d- оцененный). В этом случае, pp ppform m- кубический сплайн interpolant s к таким данным. В частности,
с и .
Чтобы выполнить операции на этом интерполирующем кубическом сплайне, такие как оценка, дифференцирование, графический вывод, использует структуру стр. Для получения дополнительной информации смотрите fnval, fnder, fnplt функции.
values = csapi(x,y,xx)xx. Этот синтаксис совпадает с fnval(csapi(x,y),xx).
Эта команда является по существу функцией MATLAB® spline, который, в свою очередь, является упрощенной версией стандартной программы Фортрана CUBSPL в PGS, за исключением того, что csapi (и теперь также spline) принимает данные с векторным знаком и может обработать данные с координатной сеткой.
В этом примере показано, как использовать csapi команда от Curve Fitting Toolbox™, чтобы создать кубический сплайн interpolants.
Interpolant к двум точкам
Команда
values = csapi(x,y,xx)
возвращает значения в xx из кубического сплайна interpolant к определенным данным (x,y), с помощью граничного условия не-узла. Этот interpolant является кусочной кубической функцией с последовательностью пропуска x, чьи кубические части объединяются, чтобы сформировать функцию с двумя непрерывными производными. Граничное условие "не-узла" означает, что в первом и последнем внутреннем пропуске даже третья производная непрерывна (до ошибки округления).
Определение только двух точек данных приводит к прямой линии interpolant.
x = [0 1]; y = [2 0]; xx = linspace(0,6,121); plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Interpolant to Two Points')
Interpolant к трем точкам
Если вы задаете три точки данных, функциональные выходные параметры парабола.
x = [2 3 5]; y = [1 0 4]; plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Interpolant to Three Points')
Interpolant к пяти точкам
В более общем плане, если вы задаете четыре или пять точек данных, функциональные выходные параметры кубический сплайн.
x = [1 1.5 2 4.1 5]; y = [1 -1 1 -1 1]; plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Cubic Spline Interpolant to Five Points')
До погрешностей округления и принятие того x вектор по крайней мере с четырьмя записями, оператором pp = csapi(x,y) поместите тот же сплайн в pp как делает оператор:
pp = fn2fm(spapi(augknt(x([1 3:(end-2) end]),4),x,y),'pp');
за исключением того, что описание сплайна получило этот второй путь, не будет использовать пропуск в x(2) и x(n-1).
Как простой двумерный пример, постройте сплайн bicubic interpolant к мексиканской функции Шляпы:
x =.0001+[-4:.2:4];
y = -3:.2:3;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
r = pi*sqrt(xx.^2+yy.^2);
z = sin(r)./r;
bcs = csapi( {x,y}, z );
fnplt( bcs )
axis([-5 5 -5 5 -.5 1])
Поскольку MATLAB® считает запись z(i,j) как значение в (x(j), y(i)), код инвертирует x и y в вызове meshgrid. Curve Fitting Toolbox® вместо этого следует стандарту Теории Приближения тогда как z(i,j) значение в (x(i), y(j)).
Поэтому необходимо быть осторожными, когда вы строите значения такого двумерного сплайна при помощи mesh MATLAB функция, как показано здесь:
xf = linspace(x(1),x(end),41);
yf = linspace(y(1),y(end),41);
mesh(xf, yf, fnval( bcs, {xf, yf}).')
Отметьте использование транспонирования матрицы значений, полученных из fnval.
csapi реализация стандартной программы Фортрана CUBSPL из PGS.
Алгоритм создает и решает соответствующую трехдиагональную линейную систему с помощью возможности разреженной матрицы MATLAB.
Алгоритм также использует граничное условие не-узла, обеспечивая первую и вторую полиномиальную часть interpolant, чтобы совпасть, а также предпоследнее и последняя полиномиальная часть.