В этом примере показано, как обучить нейронную сеть с нейронными обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), чтобы изучить динамику физической системы.
Нейронные ОДУ [1] являются операциями глубокого обучения, заданными решением обыкновенного дифференциального уравнения (ODE). А именно, нейронное ОДУ является слоем, который может использоваться в любой архитектуре и, даваться вход, задает его выход как числовое решение следующего ОДУ:
в течение периода времени и с начальным условием . Правый размер из ОДУ зависит от набора обучаемых параметров , которые изучены во время учебного процесса. В этом примере моделируется с dlnetwork
объект, который встраивается на пользовательский слой. Как правило, начальное условие или вход целой сети, как в случае этого примера, или выход предыдущего слоя.
В этом примере показано, как обучить нейронную сеть с нейронными обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), чтобы изучить динамику из данной физической системы, описанной следующим ОДУ:
,
где 2 x 2 матрицы.
В этом примере ОДУ, который задает модель, решен численно с 4-м порядком явный метод Рунге-Кутта (RK) [2] в прямой передаче. Обратный проход использует автоматическое дифференцирование, чтобы изучить обучаемые параметры , backpropagating посредством каждой работы решателя RK.
Пример затем показывает, как использовать изученную функцию как правая сторона модели в ode45
для вычисления решения той же модели от дополнительных начальных условий.
Задайте целевую динамику как линейную модель ODE.
x0 = [2; 0]; A = [-0.1 -1; 1 -0.1];
Найдите числовое решение проблемы выше. Создайте набор точек данных, чтобы использовать для обучения с помощью функции ode45.
numTimeSteps = 4000; T = 15; odeOptions = odeset('RelTol', 1.e-7, 'AbsTol', 1.e-9); t = linspace(0, T, numTimeSteps); [~, x] = ode45(@(t,y) A*y, t, x0, odeOptions); x = x';
Задайте dlnetwork
объект, который используется в качестве Learnable
свойство в пользовательском слое neuralOdeLayer
.
Для каждого наблюдения, neuralOdeInternalDlnetwork
берет вектор из длины inputSize
, размер решения для ОДУ, как введено, это увеличивает его так, чтобы это имело длину hiddenSize
и затем сжатия это снова, чтобы иметь длину outputSize
. Объект neuralOdeInternalDlnetwork
задает правую сторону из ОДУ, которое будет решено и обучаемые параметры learnables neuralOdeInternalDlnetwork
. Можно сделать нейронную архитектуру оды более выразительной, например, путем увеличения скрытого размера или количества слоев, которые задают neuralOdeInternalDlnetwork
.
hiddenSize = 30;
inputSize = size(x,1);
outputSize = inputSize;
neuralOdeLayers = [
fullyConnectedLayer(hiddenSize)
tanhLayer
fullyConnectedLayer(hiddenSize)
tanhLayer
fullyConnectedLayer(outputSize)
];
neuralOdeInternalDlnetwork = dlnetwork(neuralOdeLayers,'Initialize',false);
neuralOdeInternalDlnetwork.Learnables
ans=6×3 table
Layer Parameter Value
______ _________ ____________
"fc_1" "Weights" {0×0 double}
"fc_1" "Bias" {0×0 double}
"fc_2" "Weights" {0×0 double}
"fc_2" "Bias" {0×0 double}
"fc_3" "Weights" {0×0 double}
"fc_3" "Bias" {0×0 double}
Задайте нейронный слой ODE, который имеет dlnetwork
возразите как настраиваемый параметр. Пользовательский слой neuralODELayer
берет мини-пакет данных, которые представляют начальные условия и выводят предсказанную динамику путем числового решения задачи , где моделируется neuralOdeInternalDlnetwork
.
The value
из neuralOdeInternalTimesteps
определяет номер тактов тот из решателя ОДУ Рунге-Кутта, внутренне используемого в пользовательском слое neuralOdeLayer
. Значение dt
размер шага, используемый во внутреннем методе RK.
neuralOdeInternalTimesteps = 40;
dt = t(2);
neuralOdeLayerName = 'neuralOde';
customNeuralOdeLayer = neuralOdeLayer(neuralOdeInternalDlnetwork,neuralOdeInternalTimesteps,dt,neuralOdeLayerName);
Объявите внешний dlnetwork
возразите и инициализируйте сеть. Это инициализирует также объект dlnetwork в пользовательском neuralOdeLayer
.
dlnet=dlnetwork(customNeuralOdeLayer,'Initialize',false); dlnet = initialize(dlnet, dlarray(ones(inputSize,1),'CB'));
Задайте опции для оптимизации ADAM.
gradDecay = 0.9; sqGradDecay = 0.999; learnRate = 0.001;
Обучайтесь для 400 итераций с "мини-пакетным размером" 50.
numIter = 1500; miniBatchSize = 200;
Инициализируйте график процесса обучения.
plots = "training-progress";
lossHistory = [];
Каждые 50 итераций, решите с ode45 изученную динамику, описанную как внутренний объект dlnetwork в объекте neuralOdeLayer, и отобразите его с основной истиной в схеме фазы, это показывает учебный путь изученной динамики.
plotFrequency = 50;
Инициализируйте averageGrad
и averageSqGrad
параметры для решателя ADAM.
averageGrad = []; averageSqGrad= [];
Для каждой итерации:
создайте мини-пакет данных из синтезируемых данных.
оцените градиенты модели и потерю с помощью dlfeval
и функции modelGradients.
обновите сетевые параметры с помощью adamupdate
функция.
if plots == "training-progress" figure(1) clf title('Training Loss'); lossline = animatedline; xlabel('Iteration') ylabel("Loss") grid on end numTrainingTimesteps = numTimeSteps; trainingTimesteps = 1:numTrainingTimesteps; start = tic; for iter=1:numIter % Create batch [dlx0, targets] = createMiniBatch(numTrainingTimesteps, neuralOdeInternalTimesteps, miniBatchSize, x); % Evaluate network and compute gradients [grads,loss] = dlfeval(@modelGradients,dlnet,dlx0,targets); % Update network [dlnet,averageGrad,averageSqGrad] = adamupdate(dlnet,grads,averageGrad,averageSqGrad,iter,... learnRate,gradDecay,sqGradDecay); % Plot loss currentLoss = extractdata(loss); if plots == "training-progress" addpoints(lossline, iter, currentLoss); drawnow end % Plot predicted vs. real dynamics if mod(iter,plotFrequency) == 0 figure(2) clf % Extract the learnt dynamics internalNeuralOdeLayer = dlnet.Layers(1); dlnetODEFcn = @(t,y) evaluateODE(internalNeuralOdeLayer, y); % Use ode45 to compute the solution [~,y] = ode45(dlnetODEFcn, [t(1) t(end)], x0, odeOptions); y = y'; plot(x(1,trainingTimesteps),x(2,trainingTimesteps),'r--') hold on plot(y(1,:),y(2,:),'b-') hold off D = duration(0,0,toc(start),'Format','hh:mm:ss'); title("Iter = " + iter + ", loss = " + num2str(currentLoss) + ", Elapsed: " + string(D)) legend('Training ground truth', 'Predicted') end end
Используйте изученную модель в качестве правой стороны для той же проблемы с различными начальными условиями, решите численно изученную динамику ОДУ с ode45
и сравните его с использованием истинной модели.
tPred = t; x0Pred1 = sqrt([2;2]); x0Pred2 = [-1;-1.5]; x0Pred3 = [0;2]; x0Pred4 = [-2;0]; [xPred1, xTrue1, err1] = predictWithOde45(dlnet,A,tPred,x0Pred1,odeOptions); [xPred2, xTrue2, err2] = predictWithOde45(dlnet,A,tPred,x0Pred2,odeOptions); [xPred3, xTrue3, err3] = predictWithOde45(dlnet,A,tPred,x0Pred3,odeOptions); [xPred4, xTrue4, err4] = predictWithOde45(dlnet,A,tPred,x0Pred4,odeOptions);
Постройте предсказанные решения против решений для основной истины.
subplot(2,2,1) plotTrueAndPredictedSolutions(xTrue1, xPred1, err1, "[sqrt(2) sqrt(2)]"); subplot(2,2,2) plotTrueAndPredictedSolutions(xTrue2, xPred2, err2, "[-1 -1.5]"); subplot(2,2,3) plotTrueAndPredictedSolutions(xTrue3, xPred3, err3, "[0 2]"); subplot(2,2,4) plotTrueAndPredictedSolutions(xTrue4, xPred4, err4, "[-2 0]");
Эта функция берет набор начальных условий, dlx0,
и целевые последовательности, targets,
и вычисляет потерю и градиенты относительно параметров сети.
function [gradients,loss] = modelGradients(dlnet, dlX0, targets) % Compute prediction of network dlX = forward(dlnet,dlX0); % Compute mean absolute error loss loss = sum(abs(dlX - targets), 'all') / numel(dlX); % Compute gradients gradients = dlgradient(loss,dlnet.Learnables); end
Эта функция создает пакет наблюдений за целевой динамикой.
function [dlX0, dlT] = createMiniBatch(numTimesteps, numTimesPerObs, miniBatchSize, X) % Create batches of trajectories s = randperm(numTimesteps - numTimesPerObs, miniBatchSize); dlX0 = dlarray(X(:, s),'CB'); dlT = zeros([size(dlX0,1) miniBatchSize numTimesPerObs]); for i = 1:miniBatchSize dlT(:, i, 1:numTimesPerObs) = X(:, s(i):(s(i) + numTimesPerObs - 1)); end end
Функциональный predictWithOde45
вычисляет истинные и предсказанные решения и возвращает их вместе с соответствующей ошибкой.
function [xPred, xTrue, error] = predictWithOde45(dlnet,A,tPred,x0Pred,odeOptions) % Use ode45 to compute the solution both with the true and the learnt % models. [~, xTrue] = ode45(@(t,y) A*y, tPred, x0Pred, odeOptions); % Extract the learnt dynamics internalNeuralOdeLayer = dlnet.Layers(1); dlnetODEFcn = @(t,y) evaluateODE(internalNeuralOdeLayer, y); [~,xPred] = ode45(dlnetODEFcn, tPred, x0Pred, odeOptions); error = mean(abs(xTrue - xPred), 'all'); end function plotTrueAndPredictedSolutions(xTrue, xPred, err, x0Str) plot(xTrue(:,1),xTrue(:,2),'r--',xPred(:,1),xPred(:,2),'b-','LineWidth',1) title("x_0 = " + x0Str + ", err = " + num2str(err) ) xlabel('x1') ylabel('x2') xlim([-2 2]) ylim([-2 2]) legend('Ground truth', 'Predicted') end
[1] Нейронные Обыкновенные дифференциальные уравнения, Рики Т. К. Чен, Юлия Рубанова, Джесси Бетанкур, Давид Дювено, 2019, https://arxiv.org/abs/1806.07366
[2] Числовая математика, Quarteroni, Р Сакко, F Saleri - 2010
dlarray
| dlfeval
| dlgradient