Автокорреляция и частичная автокорреляция

Что такое автокорреляция и частичная автокорреляция?

Autocorrelation является линейной зависимостью переменной с собой в двух моментах времени. Для стационарных процессов автокорреляция между любыми двумя наблюдениями зависит только от задержки h между ними. Задайте Cov (_yt, _yt–h) = _γh. Автокорреляцией Lag-h дают

$ρ_{h} = C o r r (y_{t}, y_{t - h}) = \frac{γ_{h}}{γ_{0}} .$

Знаменатель γ ₀ является задержкой 0 ковариаций, то есть, безусловное отклонение процесса.

Корреляция между двумя переменными может следовать из взаимной линейной зависимости от других переменных (соединение). Partial autocorrelation является автокорреляцией между _yt и _yt–h после удаления любой линейной зависимости от y ₁, y ₂..., y _{t–h +1}. Частичная автокорреляция задержки-h обозначается $ϕ_{h, h} .$

Теоретический ACF и PACF

Автокорреляционная функция (ACF) какое-то время серия _yt, t = 1..., N, является последовательностью $ρ_{h},$ h = 1, 2..., N – 1. Частичная автокорреляционная функция (PACF) является последовательностью $ϕ_{h, h},$ h = 1, 2..., N – 1.

Теоретический ACF и PACF для AR, MA и условных средних моделей ARMA известны и отличаются для каждой модели. Эти различия среди моделей важны, чтобы иметь в виду, когда вы выбираете модели.

Условная средняя модель	Поведение ACF	Поведение PACF
AR (p)	Постепенно затихает	Убегает после задержек p
MA (q)	Убегает после задержек q	Постепенно затихает
ARMA (p, q)	Постепенно затихает	Постепенно затихает

Демонстрационный ACF и PACF

Демонстрационная автокорреляция и демонстрационная частичная автокорреляция являются статистическими данными, которые оценивают теоретическую автокорреляцию и частичную автокорреляцию. Используя эти качественные инструменты выбора модели, можно сравнить демонстрационный ACF и PACF данных против известных теоретических автокорреляционных функций [1].

Для наблюдаемой серии y₁ y ₂..., _yT, обозначает демонстрационное среднее значение $\bar{y} .$ Демонстрационной автокорреляцией задержки-h дают

${\hat{ρ}}_{h} = \frac{\sum_{t = h + 1}^{T} (y_{t} - \bar{y}) (y_{t - h} - \bar{y})}{\sum_{t = 1}^{T} {(y_{t} - \bar{y})}^{2}} .$

Стандартная погрешность для тестирования значения одной автокорреляции задержки-h, ${\hat{ρ}}_{h}$ , приблизительно

$S E_{ρ} = \sqrt{(1 + 2 \sum_{i = 1}^{h - 1} {\hat{ρ}}_{i}^{2}) / N} .$

Когда вы используете autocorr чтобы построить демонстрационную автокорреляционную функцию (также известный как коррелограмму), аппроксимируйте 95% доверительных интервалов, чертятся в $\pm 2 S E ρ$ по умолчанию. Дополнительные входные параметры позволяют вам изменить вычисление доверительных границ.

Демонстрационная задержка-h частичная автокорреляция является предполагаемым коэффициентом задержки-h в модели AR, содержащей задержки h, ${\hat{ϕ}}_{h, h} .$ Стандартная погрешность для тестирования значения одной задержки-h частичная автокорреляция приблизительно $1 / \sqrt{N} .$ Когда вы используете parcorr чтобы построить демонстрационную частичную автокорреляционную функцию, аппроксимированные 95% доверительных интервалов чертятся в $\pm 2 / \sqrt{N}$ по умолчанию. Дополнительные входные параметры позволяют вам изменить вычисление доверительных границ.

Вычислите демонстрационный ACF и PACF в MATLAB®

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как вычислить и построить демонстрационный ACF, и PACF временных рядов при помощи Econometrics Toolbox™ функционирует autocorr и parcorr, и приложение Econometric Modeler.

Сгенерируйте синтетические временные ряды

Симулируйте MA (2) процесс $y_{t}$ путем фильтрации ряда 1 000 Гауссовых стандартов отклоняется $ε_{t}$ через разностное уравнение

$y_{t} = ε_{t} - ε_{t - 1} + ε_{t - 2} .$

rng('default') % For reproducibility
e = randn(1000,1);
y = filter([1 -1 1],1,e);

Постройте и вычислите ACF

Постройте демонстрационный ACF $y_{t}$ путем передачи симулированных временных рядов autocorr.

autocorr(y)

Figure contains an axes. The axes with title Sample Autocorrelation Function contains 4 objects of type stem, line.

Демонстрационная автокорреляция задержек, больше, чем 2, незначительна.

Вычислите демонстрационный ACF путем вызова autocorr снова. Возвратите первый выходной аргумент.

acf = autocorr(y)

acf(j) демонстрационная автокорреляция $y_{t}$ в задержке j – 1.

Постройте и вычислите PACF

Постройте демонстрационный PACF $y_{t}$ путем передачи симулированных временных рядов parcorr.

parcorr(y)

Figure contains an axes. The axes with title Sample Partial Autocorrelation Function contains 4 objects of type stem, line.

Демонстрационный PACF постепенно уменьшается с увеличивающейся задержкой.

Вычислите демонстрационный PACF путем вызова parcorr снова. Возвратите первый выходной аргумент.

pacf = parcorr(y)

pacf = 21×1

    1.0000
   -0.6697
   -0.1541
    0.2929
    0.3421
    0.0314
   -0.1483
   -0.2290
   -0.0394
    0.1419
      ⋮

pacf(j) демонстрационная частичная автокорреляция $y_{t}$ в задержке j – 1.

Демонстрационный ACF и PACF предлагают это $y_{t}$ MA (2) процесс.

Используйте Econometric Modeler

Откройте приложение Econometric Modeler путем ввода econometricModeler в командной строке.

econometricModeler

Загрузите симулированные временные ряды y.

На вкладке Econometric Modeler, в разделе Import, выбирают Import> Import From Workspace.
В диалоговом окне Import Data, в Импорте? столбец, установите флажок для y переменная.
Нажмите Import.

Переменная y1 появляется в Браузере Данных, и его график временных рядов появляется в Графике Временных рядов (y1) окно рисунка.

Постройте демонстрационный ACF путем нажатия на ACF на вкладке Plots.

Постройте демонстрационный PACF путем нажатия на PACF на вкладке Plots. Расположите график PACF ниже графика ACF путем перетаскивания PACF (y1), переходят в более низкую половину документа.

Ссылки

[1] Поле, Джордж Э. П., Гвилим М. Дженкинс и Грегори К. Рейнсель. Анализ Временных Рядов: Прогнозирование и Управление. 3-й редактор Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.

Документация