eigplot

Постройте собственные значения Цепи Маркова

Описание

пример

eigplot(mc) создает график, содержащий собственные значения матрицы перехода дискретной цепи Маркова mc на комплексной плоскости. График подсвечивает следующее:

  • Модульный круг

  • Собственное значение крыльца-Frobenius в (1,0)

  • Круг второй по величине величины собственного значения (SLEM)

  • Спектральный разрыв между этими двумя кругами, который определяет смесительное время

пример

eVals = eigplot(mc) дополнительно возвращает собственные значения eVals отсортированный по величине.

eigplot(ax,mc) графики на осях заданы ax вместо текущей системы координат (gca).

[eVals,h] = eigplot(___) дополнительно возвращается, указатель на использование графика собственного значения ввел любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах. Используйте h изменить свойства графика после того, как вы создаете его.

Примеры

свернуть все

Создайте Цепи Маркова с 10 состояниями из двух случайных матриц перехода с одной матрицей перехода, являющейся более разреженным, чем другой.

rng(1); % For reproducibility
numstates = 10;
mc1 = mcmix(numstates,'Zeros',20);
mc2 = mcmix(numstates,'Zeros',80); % mc2.P is more sparse than mc1.P

Постройте собственные значения матриц перехода на отдельных комплексных плоскостях.

figure;
eigplot(mc1);

Figure contains an axes. The axes contains 5 objects of type line, patch. These objects represent Eigenvalues, Spectral Gap.

figure;
eigplot(mc2);

Figure contains an axes. The axes contains 5 objects of type line, patch. These objects represent Eigenvalues, Spectral Gap.

Розовый диск в графиках показывает спектральный разрыв (различие между двумя самыми большими модулями собственного значения). Спектральный разрыв определяет смесительное время Цепи Маркова. Большие разрывы указывают на более быстрое смешивание, тогда как тонкие разрывы указывают на более медленное смешивание. Поскольку спектральный разрыв mc1 является более толстым, чем спектральный разрыв mc2, mc1 смеси быстрее, чем mc2.

Рассмотрите эту теоретическую, правильно-стохастическую матрицу перехода стохастического процесса.

P=[001/21/41/400001/302/300000001/32/3000001/21/2000003/41/41/21/2000001/43/400000].

Создайте Цепь Маркова, которая характеризуется матрицей P перехода.

P = [ 0   0  1/2 1/4 1/4  0   0 ;
      0   0  1/3  0  2/3  0   0 ;
      0   0   0   0   0  1/3 2/3;
      0   0   0   0   0  1/2 1/2;
      0   0   0   0   0  3/4 1/4;
     1/2 1/2  0   0   0   0   0 ;
     1/4 3/4  0   0   0   0   0 ];
mc = dtmc(P);

Постройте и возвратите собственные значения матрицы перехода на комплексной плоскости.

figure;
eVals = eigplot(mc)

Figure contains an axes. The axes contains 5 objects of type line, patch. These objects represent Eigenvalues, Spectral Gap.

eVals = 7×1 complex

  -0.5000 + 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
   1.0000 + 0.0000i
  -0.3207 + 0.0000i
   0.1604 + 0.2777i
   0.1604 - 0.2777i
  -0.0000 + 0.0000i

Три собственных значения имеют модуль один, который указывает что период mc три.

Вычислите смесительное время Цепи Маркова.

[~,tMix] = asymptotics(mc)
tMix = 0.8793

Входные параметры

свернуть все

Дискретная цепь Маркова с NumStates состояния и матрица перехода PВ виде dtmc объект. P должен быть полностью задан (никакой NaN записи).

Оси, на которых можно построить в виде Axes объект.

По умолчанию, eigplot графики к текущей системе координат (gca).

Выходные аргументы

свернуть все

Матричные собственные значения перехода отсортированы по величине, возвращенной как числовой вектор.

Указатели на нанесенные на график графические объекты, возвращенные как графический массив. h содержит уникальные идентификаторы графика, которые можно использовать, чтобы запросить или изменить свойства графика.

Примечание

  • Теоремой Крыльца-Frobenius [2], цепь с одним текущим классом передачи (unichain) имеет точно одно собственное значение, равное 1 (собственное значение Крыльца-Frobenius), и сопроводительный неотрицательный левый собственный вектор, который нормирует к уникальному стационарному распределению. Все другие собственные значения имеют модуль, меньше чем или равный 1. Неравенство строго, если текущий класс не является периодическим. Когда существует периодичность периода k, существуют собственные значения k на модульном круге в корнях из единицы k.

  • Для эргодического unichain любое начальное распределение сходится к стационарному распределению на уровне, определенном вторым по величине модулем собственного значения (SLEM), μ. Спектральный разрыв, 1 – μ, обеспечивает визуальную меру с большими разрывами (меньшие круги SLEM) создание более быстрой сходимости. Уровни экспоненциальны с характеристическим временем, данным

    tMix=1log(μ).

    Смотрите asymptotics.

Ссылки

[1] Gallager, R.G. Стохастические процессы: теория для приложений. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 2013.

[2] Рог, R. и К. Р. Джонсон. Анализ матрицы. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1985.

[3] Seneta, E. Неотрицательные матрицы и цепи Маркова. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1981.

Введенный в R2017b
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте