В этом примере показано, как решить простую систему линейных уравнений $\mathit{Ax}=\mathit{b}$, использование разложение QR.

В этом примере задайте как 5 3 матрица с большим числом обусловленности. Чтобы решить систему линейных уравнений, включающих плохо обусловленный (большое число обусловленности) неквадратные матрицы, необходимо использовать разложение QR.

rng default;
A = gallery('randsvd', [5,3], 1000000);
b = [1; 1; 1; 1; 1];
x = fixed.qrMatrixSolve(A,b)

x = 3×1
104 ×

   -2.3777
    7.0686
   -2.2703

Сравните результат fixed.qrMatrixSolve функция результатом mldivide или \ функция.

x = A\b

x = 3×1
104 ×

   -2.3777
    7.0686
   -2.2703

Этот пример показывает эффект параметра регуляризации при решении сверхрешительной системы. В этом примере, количество y измеряется в нескольких различных значениях времени t произвести следующие наблюдения.

t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';
y = [.82 .72 .63 .60 .55 .50]';

Смоделируйте данные с затухающей показательной функцией

$y(t)=c_1+c_2{e}^{-t}$.

Предыдущее уравнение говорит что векторный y должен быть аппроксимирован линейной комбинацией двух других векторов. Каждый - постоянный вектор, содержащий все единицы, и другой вектор с компонентами exp(-t). Неизвестные коэффициенты, $$c_1$$ и $$c_2$$, может быть вычислен путем выполнения метода наименьших квадратов, который минимизирует сумму квадратов отклонений данных из модели. Существует шесть уравнений и два неизвестных, представленных 6 2 матрица.

E = [ones(size(t)) exp(-t)]

E = 6×2

    1.0000    1.0000
    1.0000    0.7408
    1.0000    0.4493
    1.0000    0.3329
    1.0000    0.2019
    1.0000    0.1003

Используйте fixed.qrMatrixSolve функция, чтобы получить решение методом наименьших квадратов.

c = fixed.qrMatrixSolve(E, y)

c = 2×1

    0.4760
    0.3413

Другими словами, метод наименьших квадратов к данным

Следующие операторы оценивают модель в расположенном с равными интервалами шаге в t, и затем постройте результат вместе с исходными данными:

T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*c;
plot(T,Y,'-',t,y,'o')

В случаях, где входные матрицы являются плохо обусловленными, маленькими положительными значениями параметра регуляризации, может улучшить создание условий проблемы наименьших квадратов и уменьшать отклонение оценок. Исследуйте эффект параметра регуляризации на решении методом наименьших квадратов для этих данных.

figure;
lambda = [0:0.1:0.5];
plot(t,y,'o', 'DisplayName', 'Original Data');
for i = 1:length(lambda)
 c = fixed.qrMatrixSolve(E, y, numerictype('double'), lambda(i));
 Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*c;
 hold on
 plot(T,Y,'-', 'DisplayName', ['lambda =', num2str(lambda(i))])
end
legend('Original Data', 'lambda = 0', 'lambda = 0.1', 'lambda = 0.2', 'lambda = 0.3', 'lambda = 0.4', 'lambda = 0.5')