Документация

Загрузка и отображение данных переписи на графике

Файл census.mat содержит американские данные о населении в течение лет 1790 - 1990 в 10-летних интервалах.

Чтобы загрузить и отобразить данные на графике, введите следующие команды в подсказке MATLAB:

load census
plot(cdate,pop,'ro')

load команда добавляет следующие переменные в рабочее пространство MATLAB:

Векторы данных сортируются в порядке возрастания по годам. График показывает население в зависимости от года.

Теперь вы готовы подогнать под уравнение данные для моделирования роста населения с течением времени.

Прогнозирование данных переписи населения с помощью кубического полинома

Выбор этих опций создает подграфик остаточных значений как столбчатый график.

Кубическое соответствие является плохим предиктором перед годом 1790, где это указывает на уменьшающееся население. Модель, кажется, аппроксимирует данные обоснованно много позже 1790. Однако шаблон в остаточных значениях показывает, что модель не соответствует предположению о нормальной ошибке, которая является базисом для подбора кривой наименьших квадратов. Линией data 1, идентифицированной в легенде, является наблюдаемый x (cdate) и y (pop) значения данных. Линия регрессии Cubic представляет подгонку после центрирования и масштабирования значений данных. Заметьте, что рисунок показывает исходные модули данных, даже при том, что инструмент вычисляет подгонку с помощью преобразованных z-баллов.

Для сравнения попробуйте подбор другого полиномиального уравнения к данным о переписи путем выбора его в области TYPES OF FIT.

Просмотр и сохранение параметров кубического полинома

В диалоговом окне Basic Fitting нажмите кнопку Expand Results, чтобы отобразить предполагаемые коэффициенты и норму остаточных значений.

Сохраните данные подгонки в рабочее пространство MATLAB путем нажатия кнопки Export to Workspace на Числовой панели результатов. Диалоговое окно Save Fit to Workspace открывается.

Со всеми установленными флажками нажмите OK, чтобы сохранить подходящие параметры как структуру MATLAB fit:

fit

fit = 

  struct with fields:

     type: 'polynomial degree 3'
    coeff: [0.9210 25.1834 73.8598 61.7444]

Теперь можно использовать результаты подгонки в программировании MATLAB, за пределами Пользовательского интерфейса Basic Fitting.

^R2, коэффициент детерминации

Можно получить индикацию относительно того, как хорошо параболическая регрессия предсказывает наблюдаемые данные путем вычисления coefficient of determination, или R-square (записанный как ^R2). Статистическая величина ^R2, которая лежит в диапазоне от 0 до 1, меры, насколько полезный независимая переменная находится в предсказании значений зависимой переменной:

^R2 вычисляется из residuals, различий со знаком между наблюдаемым зависимым значением и значением, которое ваша подгонка предсказывает для него.

Номер ^R2 для кубического соответствия в этом примере, 0.9988, расположен под FIT RESULTS в диалоговом окне Basic Fitting.

Чтобы сравнить номер ^R2 для кубического соответствия к подгонке линейного метода наименьших квадратов, выберите Linear под TYPES OF FIT и получите номер ^R2, 0.921. Этот результат показывает, что линейный метод наименьших квадратов данных о населении объясняет 92,1% своего отклонения. Поскольку кубическая подгонка этих данных объясняют 99,9% этой дисперсии, последняя, по-видимому, является лучшим предиктором. Однако, потому что кубическое соответствие предсказывает использование трех переменных (x, ^x2 и ^x3), основное значение ^R2 не полностью отражает, насколько устойчивый подгонка. Более соответствующей мерой для оценки совершенства многомерных соответствий является ^{adjusted R2}. Для получения информации о вычислении и использовании ^{скорректированного R2}, смотрите Остаточные значения и Качество подгонки.

Интерполяция и экстраполирование значений населения

Предположим, что вы хотите использовать кубическую модель, чтобы интерполировать американское население в 1 965 (дата, не обеспеченная в исходных данных).

В диалоговом окне Basic Fitting, под INTERPOLATE / EXTRAPOLATE DATA, вводят значение X 1965 и устанавливают флажок Plot evaluated data.

X значения и соответствующие значения для f(X) вычислены из подгонки и построены можно следующим образом:

Генерация файла кода, чтобы воспроизвести результат

После завершения сеанса Basic Fitting можно сгенерировать код MATLAB, который повторно вычисляет модель и воспроизводит графики с новыми данными.

Узнайте, как Basic Fitting Tool вычисляет модель

Инструмент Basic Fitting вызывает polyfit функция, чтобы вычислить аппроксимации полиномом. Это вызывает polyval функция, чтобы оценить подгонки. polyfit анализирует его входные данные, чтобы определить, хорошо подготовлены ли данные для требуемой степени подгонки.

Когда это находит плохо подготовленные данные, polyfit вычисляет регрессию, а также она может, но она также возвращает предупреждение, что подгонка могла быть улучшена. Раздел Predict the Census Data Basic Fitting в качестве примера с Подгонкой Кубического полинома выводит это предупреждение.

Один способ улучшить надежность модели состоит в том, чтобы добавить точки данных. Однако добавление наблюдений к набору данных не всегда выполнимо. Альтернативная стратегия состоит в том, чтобы преобразовать переменный предиктор, чтобы нормировать его центр и шкалу. (В примере предиктор является вектором из дат переписи.)

polyfit функция нормирует на вычислительные z-баллы:

где x является данными о предикторе, μ является средним значением x, и σ является стандартным отклонением x. z - баллы дают данным среднее значение 0 и стандартное отклонение 1. В Пользовательском интерфейсе Basic Fitting вы преобразовываете данные о предикторе к z - баллы путем установки флажка Center and scale x-axis data.

После центрирования и масштабирования, коэффициенты модели вычисляются для данных y в зависимости от z. Они отличаются (и более устойчивы), чем коэффициенты, вычисленные для y в зависимости от x. Форма модели и норма остаточных значений не изменяются. Пользовательский интерфейс Basic Fitting автоматически перемасштабирует z - баллы так, чтобы подгонка построила по той же шкале как исходные данные x.

Чтобы изучить путь, которым и масштабированные данные в центре используются в качестве посредника, чтобы создать итоговый график, запустите следующий код в Командном окне:

close
load census
x = cdate;
y = pop;
z = (x-mean(x))/std(x); % Compute z-scores of x data

plot(x,y,'ro') % Plot data as red markers
hold on        % Prepare axes to accept new graph on top

zfit = linspace(z(1),z(end),100);
pz = polyfit(z,y,3); % Compute conditioned fit
yfit = polyval(pz,zfit);

xfit = linspace(x(1),x(end),100);
plot(xfit,yfit,'b-') % Plot conditioned fit vs. x data

И масштабированный кубический полином в центре строит как синяя линия, как показано здесь:

В коде, расчете z иллюстрирует, как нормировать данные. polyfit функция выполняет само преобразование, если вы обеспечиваете три возвращаемых аргумента при вызове его:

[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)