Учитывая математическую функцию одной переменной, можно использовать fminbnd
функционируйте, чтобы найти локальный минимизатор функции в данном интервале. Например, рассмотрите humps.m
функция, которой предоставляют MATLAB®. Следующий рисунок показывает график humps
.
x = -1:.01:2; y = humps(x); plot(x,y) xlabel('x') ylabel('humps(x)') grid on
Найти минимум humps
функция в области значений (0.3,1)
Использование
x = fminbnd(@humps,0.3,1)
x = 0.6370
Вы видите детали процесса решения при помощи optimset
создать опции с Display
набор опции к 'iter'
. Передайте получившиеся опции fminbnd
.
options = optimset('Display','iter'); x = fminbnd(@humps,0.3,1,options)
Func-count x f(x) Procedure 1 0.567376 12.9098 initial 2 0.732624 13.7746 golden 3 0.465248 25.1714 golden 4 0.644416 11.2693 parabolic 5 0.6413 11.2583 parabolic 6 0.637618 11.2529 parabolic 7 0.636985 11.2528 parabolic 8 0.637019 11.2528 parabolic 9 0.637052 11.2528 parabolic Optimization terminated: the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04
x = 0.6370
Итеративное отображение показывает текущее значение x
и значение функции в f(x)
каждый раз вычисление функции происходит. Для fminbnd
, одно вычисление функции соответствует одной итерации алгоритма. Последний столбец показывает процедуре fminbnd
использование в каждой итерации, поиске золотого сечения или параболической интерполяции. Для получения дополнительной информации смотрите Решатель Оптимизации Итеративное Отображение.
fminsearch
функция похожа на fminbnd
за исключением того, что это обрабатывает функции многих переменных. Задайте стартовый вектор x0, а не стартовый интервал. fminsearch
попытки возвратить вектор x, который является локальным минимизатором математической функции около этого стартового вектора.
Попробовать fminsearch
, создайте функциональный three_var
из трех переменных, x
Y
, и z
.
function b = three_var(v) x = v(1); y = v(2); z = v(3); b = x.^2 + 2.5*sin(y) - z^2*x^2*y^2;
Теперь найдите минимум для этой функции с помощью x = -0.6
, y = -1.2
, и z = 0.135
как начальные значения.
v = [-0.6,-1.2,0.135]; a = fminsearch(@three_var,v) a = 0.0000 -1.5708 0.1803
fminbnd
и fminsearch
решатели пытаются минимизировать целевую функцию. Если у вас есть проблема максимизации, то есть, проблема формы
затем задайте g (x) = –f (x) и минимизируйте g.
Например, чтобы найти максимум tan (cos (x)) около x = 5, оцените:
[x fval] = fminbnd(@(x)-tan(cos(x)),3,8) x = 6.2832 fval = -1.5574
Максимум 1.5574 (отрицание fval
, о котором сообщают,), и происходит в x = 6.2832. Этот ответ правилен с тех пор к пяти цифрам, максимум коричнев (1) = 1.5574, который происходит в x = 2π = 6.2832.
fminsearch
Алгоритмfminsearch
использует алгоритм симплекса Nelder-меда как описано в Lagarias и др. [1]. Этот алгоритм использует симплекс n + 1 точка для n - размерные векторы x. Алгоритм сначала делает симплекс вокруг исходного предположения x 0 путем добавления 5% каждого x компонента 0 (i) к x 0. Алгоритм использует эти векторы n в качестве элементов симплекса в дополнение к x 0. (Алгоритм использует 0.00025 в качестве i компонента если x 0 (i) = 0.) Затем алгоритм неоднократно изменяет симплекс согласно следующей процедуре.
Примечание
Ключевые слова для fminsearch
итеративное отображение появляется полужирным после описания шага.
Позволенный x (i) обозначают список точек в текущем симплексе, i = 1..., n + 1.
Закажите точки в симплексе от самого низкого значения функции f (x (1)) к самому высокому f (x (n + 1)). На каждом шаге в итерации алгоритм отбрасывает текущую худшую точку x (n + 1) и принимает другую точку в симплекс. [Или, в случае шага 7 ниже, это изменяет все точки n со значениями выше f (x (1))].
Сгенерируйте точку reflected
r = 2m – x (n + 1), | (1) |
где
m = Σx (i)/n, i = 1... n, | (2) |
и вычислите f (r).
Если f (x (1)) ≤ f (r) <f (x (n)), примите r и отключите эту итерацию. Отразиться
Если f (r) <f (x (1)), вычислите, расширение указывают s
s = m + 2 (m – x (n + 1)), | (3) |
и вычислите f (s).
Если f (s) <f (r), примите s и отключите итерацию. Расширение
В противном случае примите r и отключите итерацию. Отразиться
Если f (r) ≥ f (x (n)), выполните contraction между m и eitherx (n + 1) или r, в зависимости от которого имеет более низкое значение целевой функции.
Если f (r) <f (x (n + 1)) (то есть, r лучше, чем x (n + 1)), вычислить
c = m + (r – m)/2 | (4) |
и вычислите f (c). Если f (c) < f (r), примите c и отключите итерацию. Контракт снаружи
В противном случае продолжите Шаг 7 (Уменьшение).
Если f (r) ≥ f (x (n + 1)), вычислить
cc = m + (x (n + 1) – m)/2 | (5) |
и вычислите f (cc). Если f (cc) < f (x (n + 1)), примите cc и отключите итерацию. Контракт внутри
В противном случае продолжите Шаг 7 (Уменьшение).
Вычислите точки n
v (i) = x (1) + (x (i) – x (1))/2 | (6) |
и вычислите f (v (i)), i = 2..., n + 1. Симплексом в следующей итерации является x (1), v (2)..., v (n + 1). Уменьшение
Следующий рисунок показывает точки это fminsearch
может вычислить в процедуре, наряду с каждым возможным новым симплексом. Исходный симплекс имеет полужирную схему. Итерации продолжают, пока они не соответствуют останавливающемуся критерию.
[1] Lagarias, J. C. Дж. А. Ридс, М. Х. Райт и П. Э. Райт. “Свойства сходимости Симплекс-метода Nelder-меда в Низких Размерностях”. SIAM Journal Оптимизации, Издания 9, Номера 1, 1998, стр 112–147.