Матричный A = delsq(numgrid('C',15)) симметричная положительная определенная матрица с собственными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть самых больших собственных значений величины.

A = delsq(numgrid('C',15));
d = eigs(A)

d = 6×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531
    7.5213
    7.4480
    7.3517

Задайте второй вход, чтобы вычислить определенное количество самых больших собственных значений.

d = eigs(A,3)

d = 3×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531

Матричный A = delsq(numgrid('C',15)) симметричная положительная определенная матрица с собственными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять самых маленьких собственных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));  
d = eigs(A,5,'smallestabs')

d = 5×1

    0.1334
    0.2676
    0.3469
    0.4787
    0.5520

Создайте 1500 1500 случайную разреженную матрицу с 25%-й аппроксимированной плотностью ненулевых элементов.

n = 1500;
A = sprand(n,n,0.25);

Найдите LU-факторизацию матрицы, возвратив вектор сочетания p это удовлетворяет A(p,:) = L*U.

[L,U,p] = lu(A,'vector');

Создайте указатель на функцию Afun это принимает векторный вход x и использует результаты LU-разложения к, в действительности, возвратите A\x.

Afun = @(x) U\(L\(x(p)));

Вычислите шесть самых маленьких собственных значений величины с помощью eigs с указателем на функцию Afun. Второй вход является размером A.

d = eigs(Afun,1500,6,'smallestabs')

d = 6×1 complex

   0.1423 + 0.0000i
   0.4859 + 0.0000i
  -0.3323 - 0.3881i
  -0.3323 + 0.3881i
   0.1019 - 0.5381i
   0.1019 + 0.5381i

west0479 с действительным знаком 479 479 разреженная матрица и с действительными и с комплексными парами сопряженных собственных значений.

Загрузите west0479 матрица, затем вычислите и постройте все собственные значения с помощью eig. Поскольку собственные значения являются комплексными, plot автоматически использует действительные части в качестве x-координат и мнимых частей как y-координаты.

load west0479
A = west0479;
d = eig(full(A));
plot(d,'+')

Собственные значения кластеризируются вдоль действительной линии (ось X), особенно около источника.

eigs имеет несколько опций для sigma это может выбрать самые большие или самые маленькие собственные значения различных типов. Вычислите и постройте некоторые собственные значения для каждого из доступных параметров для sigma.

figure
plot(d, '+')
hold on
la = eigs(A,6,'largestabs');
plot(la,'ro')
sa = eigs(A,6,'smallestabs');
plot(sa,'go')
hold off
legend('All eigenvalues','Largest magnitude','Smallest magnitude')
xlabel('Real axis')
ylabel('Imaginary axis')

figure
plot(d, '+')
hold on
ber = eigs(A,4,'bothendsreal');
plot(ber,'r^')
bei = eigs(A,4,'bothendsimag');
plot(bei,'g^')
hold off
legend('All eigenvalues','Both ends real','Both ends imaginary')
xlabel('Real axis')
ylabel('Imaginary axis')

figure
plot(d, '+')
hold on
lr = eigs(A,3,'largestreal');
plot(lr,'ro')
sr = eigs(A,3,'smallestreal');
plot(sr,'go')
li = eigs(A,3,'largestimag','SubspaceDimension',45);
plot(li,'m^')
si = eigs(A,3,'smallestimag','SubspaceDimension',45);
plot(si,'c^')
hold off
legend('All eigenvalues','Largest real','Smallest real','Largest imaginary','Smallest imaginary')
xlabel('Real axis')
ylabel('Imaginary axis')

Создайте симметричную положительную определенную разреженную матрицу.

A = delsq(numgrid('C', 150));

Вычислите шесть самых маленьких действительных собственных значений с помощью 'smallestreal', который использует метод Крылова с помощью A.

tic
d = eigs(A, 6, 'smallestreal')

d = 6×1

    0.0013
    0.0025
    0.0033
    0.0045
    0.0052
    0.0063

toc

Elapsed time is 1.301556 seconds.

Вычислите те же собственные значения с помощью 'smallestabs', который использует метод Крылова с помощью инверсии A.

tic
dsm = eigs(A, 6, 'smallestabs')

dsm = 6×1

    0.0013
    0.0025
    0.0033
    0.0045
    0.0052
    0.0063

toc

Elapsed time is 0.201428 seconds.

Собственные значения кластеризируются около нуля. 'smallestreal' расчет изо всех сил пытается сходиться с помощью A поскольку разрыв между собственными значениями так мал. С другой стороны, 'smallestabs' опция использует инверсию A, и поэтому инверсия собственных значений A, которые имеют намного больший разрыв и поэтому легче вычислить. Эта улучшенная производительность прибывает за счет разложения на множители A, который не необходим с 'smallestreal'.

Вычислите собственные значения около числового sigma значение, которое почти равно собственному значению.

Матричный A = delsq(numgrid('C',30)) симметричная положительная определенная матрица размера 632 с собственными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8), но с 18 собственными значениями, повторенными в 4,0. Чтобы вычислить некоторые собственные значения около 4.0, разумно попробовать вызов функции eigs(A,20,4.0). Однако этот вызов вычисляет самые большие собственные значения инверсии A - 4.0*I, где I единичная матрица. Поскольку 4.0 собственное значение A, эта матрица сингулярна и поэтому не имеет инверсии. eigs сбои и производят сообщение об ошибке. Числовое значение sigma не может быть точно равно собственному значению. Вместо этого необходимо использовать значение sigma это рядом, но не равно 4,0, чтобы найти те собственные значения.

Вычислите все собственные значения с помощью eig, и эти 20 собственных значений, самых близких к 4 - 1e-6 использование eigs сравнить результаты. Постройте собственные значения, вычисленные с каждым методом.

A = delsq(numgrid('C',30)); 
sigma = 4 - 1e-6;
d = eig(A);
D = sort(eigs(A,20,sigma));

plot(d(307:326),'ks')
hold on
plot(D,'k+')
hold off
legend('eig(A)','eigs(A,20,sigma)') 
title('18 Repeated Eigenvalues of A')

Создайте разреженные случайные матрицы A и B то, что у обоих есть низкая плотность ненулевых элементов.

B = sprandn(1e3,1e3,0.001) + speye(1e3); 
B = B'*B; 
A = sprandn(1e3,1e3,0.005); 
A = A+A';

Найдите разложение Холесского матричного B, использование трех выходных параметров, чтобы возвратить вектор сочетания s и тестовое значение p.

[R,p,s] = chol(B,'vector');
p

p = 0

Начиная с p нуль, B симметричная положительная определенная матрица, которая удовлетворяет B(s,s) = R'*R.

Вычислите шесть самых больших собственных значений величины и собственные вектора обобщенной задачи о собственных значениях, включающей A и R. Начиная с R Фактор Холецкого B, задайте 'IsCholesky' как true. Кроме того, начиная с B(s,s) = R'*R и таким образом R = chol(B(s,s)), используйте вектор сочетания s как значение 'CholeskyPermutation'.

[V,D,flag] = eigs(A,R,6,'largestabs','IsCholesky',true,'CholeskyPermutation',s);
flag

flag = 0

Начиная с flag нуль, все собственные значения сходились.